17473. В треугольнике ABC
сторона AB
больше стороны BC
, AC=\sqrt{15}
. На продолжении стороны AB
выбрана точка M
, для которой BM=BC
(точка B
лежит между M
и A
). Радиус окружности, описанной около треугольника ABC
, равен 4. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника AMC
.
Ответ. 2 и 2\sqrt{15}
.
Решение. Обозначим \angle ABC=\alpha
, \angle BMC=\varphi
. Пусть r
и R=4
— радиусы описанных окружностей треугольников AMC
и ABC
соответственно.
Треугольник CBM
равнобедренный, а BAC
— его внешний угол, поэтому
\angle AMC=\varphi=\frac{\alpha}{2}.
По теореме синусов
\sin\alpha=\sin\angle ABC=\frac{AC}{2R}=\frac{\sqrt{15}}{8}~\Rightarrow
\Rightarrow~|\cos\alpha|=\sqrt{1-\sin^{2}\alpha}=\sqrt{1-\frac{15}{64}}=\sqrt{\frac{49}{64}}=\frac{7}{8}.
Пусть \cos\alpha\gt0
(т. е. угол ABC
острый). Тогда
\sin\angle AMC=\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{7}{8}}{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{1}{4}.
Следовательно,
r=\frac{AC}{2\sin\angle AMC}=\frac{AC}{2\sin\alpha}=\frac{\sqrt{15}}{2\cdot\frac{1}{4}}=2\sqrt{15}.
Пусть \cos\alpha\lt0
(т. е. угол ABC
тупой). Тогда
\sin\angle AMC=\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{7}{8}}{2}}=\sqrt{\frac{15}{16}}=\frac{\sqrt{15}{4}}.
Следовательно,
r=\frac{AC}{2\sin\angle AMC}=\frac{AC}{2\sin\alpha}=\frac{\sqrt{15}}{2\cdot\frac{\sqrt{15}}{4}}=2.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет НГУ. — 1998, задача 3, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1998, с. 241, задача 3, вариант 2