17476. Дан тупоугольный равнобедренный треугольник площади 3\sqrt{15}
. Медиана, проведённая к боковой стороне, равна 6. Найдите стороны треугольника.
Ответ. 2\sqrt{6}
, 2\sqrt{6}
, 2\sqrt{15}
.
Решение. Пусть ABC
— данный равнобедренный треугольник с основанием AC
, AM=6
— медиана, BN
— высота. Обозначим BM=MC=x
, AN=NC=y
. По формуле для квадрата медианы получаем
4AM^{2}=2AB^{2}+2AC^{2}-BC^{2},~\mbox{или}~4\cdot36=2\cdot4x^{2}+2\cdot4y^{2}-4x^{2}~\Leftrightarrow~x^{2}=36-2y^{2}.
По теореме Пифагора
BN=\sqrt{4x^{2}-y^{2}},
поэтому
3\sqrt{15}=S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BN=\frac{1}{2}\cdot2y\cdot\sqrt{4x^{2}-y^{2}},~\mbox{или}~y^{2}(4x^{2}-y^{2})=135.
Подставив в последнее уравнение x^{2}=36-2y^{2}
, после очевидных упрощений получим уравнение y^{4}-16y^{2}+15=0
, из которого, учитывая условие y\gt0
, находим, что y=1
или y=\sqrt{15}
.
В первом случае
x=\sqrt{36-2}=\sqrt{34},~AB=BC=2x=2\sqrt{34},~AC=2y=2\sqrt{15}.
Во втором случае
x=\sqrt{36-30}=\sqrt{6},~AB=BC=2x=2\sqrt{6},~AC=2y=2\sqrt{15}.
По условию треугольник ABC
тупоугольный, поэтому AB^{2}+BC^{2}\lt AC^{2}
. Этому условию удовлетворяет только второе решение.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет НГУ. — 1999, задача 3, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1999, с. 242, задача 3, вариант 1