17477. Дан равнобедренный треугольник площади 9\sqrt{7}
. Медиана, проведённая к боковой стороне, равна основанию треугольника. Найдите эту медиану.
Ответ. 6.
Решение. Пусть ABC
— данный равнобедренный треугольник с основанием AC
, AM
— медиана, BN
— высота. Положим AB=BC=2x
, AN=NC=2y
. По формуле для квадрата медианы получаем
4AM^{2}=2AB^{2}+2AC^{2}-BC^{2},~\mbox{или}~4\cdot4y^{2}=2\cdot4x^{2}+2\cdot4y^{2}-4x^{2}~\Leftrightarrow~x^{2}=2y^{2}.
По теореме Пифагора
BN=\sqrt{4x^{2}-y^{2}}=\sqrt{8y^{2}-y^{2}}=y\sqrt{7}.
поэтому
9\sqrt{7}=S_{\triangle ABC}=AN\cdot BN=y^{2}\sqrt{7},~\mbox{или}~y^{2}=9,
а так как y\gt0
, то y=3
. Следовательно, AN=2y=6
.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет НГУ. — 1999, задача 3, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1999, с. 243, задача 3, вариант 2