17481. В треугольнике ABC
на стороне AB
отмечена точка D
(отличная от A
и B
) и проведена медиана AM
. Оказалось, что AM=\frac{1}{2}CD
. Обязательно ли треугольник ABC
тупоугольный?
Ответ. Да, обязательно.
Решение. На продолжении медианы AM
за точку L
отложим отрезок ML=AM
. Тогда ACLB
— параллелограмм, ACLD
— трапеция. Поскольку её диагонали AL
и CD
равны, она равнобедренная, поэтому LD=CA=LB
, т. е. угол LBD
острый как угол при основании равнобедренного треугольника LBD
, а дающий в сумме с ним 180^{\circ}
угол CAB
тупой.
Автор: Голенищева-Кутузова Т. И.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2025, задача 3, 8 класс