17481. В треугольнике
ABC
на стороне
AB
отмечена точка
D
(отличная от
A
и
B
) и проведена медиана
AM
. Оказалось, что
AM=\frac{1}{2}CD
. Обязательно ли треугольник
ABC
тупоугольный?
Ответ. Да, обязательно.
Решение. На продолжении медианы
AM
за точку
L
отложим отрезок
ML=AM
. Тогда
ACLB
— параллелограмм,
ACLD
— трапеция. Поскольку её диагонали
AL
и
CD
равны, она равнобедренная, поэтому
LD=CA=LB
, т. е. угол
LBD
острый как угол при основании равнобедренного треугольника
LBD
, а дающий в сумме с ним
180^{\circ}
угол
CAB
тупой.
Автор: Голенищева-Кутузова Т. И.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2025, задача 3, 8 класс