17482. В треугольнике
ABC
с прямым углом
C
провели высоту
CH
. Окружность, проходящая через точки
C
и
H
, повторно пересекает отрезки
AC
,
CB
и
BH
в точках
Q
,
P
и
R
соответственно. Отрезки
HP
и
CR
пересекаются в точке
T
(см. рис.). Что больше: площадь треугольника
CPT
или сумма площадей треугольников
CQH
и
HTR
?
Ответ. Они равны.
Решение. Первый способ. Добавим к рассматриваемым площадям площадь треугольника
PTR
. Получим, что нужно проверить равенство
S_{\triangle CQH}+S_{\triangle BPH}=S_{\triangle CPR}.

Поскольку
\angle CHR=90^{\circ}
, то
CR
— диаметр проведённой окружности, поэтому
\angle CQR=\angle CPR=90^{\circ}.

В четырёхугольнике
CPRQ
три угла прямые, поэтому
CPRQ
— прямоугольник.
Опустим из точки
H
перпендикуляры
HX
и
HY
на прямые
CQ
и
PR
соответственно. Их сумма равна стороне
CP
прямоугольника. Следовательно,
S_{\triangle CQH}+S_{\triangle SHP}=\frac{1}{2}HX\cdot CQ+\frac{1}{2}HY\cdot PR=\frac{1}{2}(HX+HY)\cdot PR=

=\frac{1}{2}XY\cdot PR=\frac{1}{2}CP\cdot PR=S_{\triangle CPR}.

Второй способ. Добавим к рассматриваемым площадям площадь четырёхугольника
BPTR
. Получим, что нужно проверить равенство
S_{\triangle CQH}+S_{\triangle BPH}=S_{\triangle BRC}.

Из вписанности четырёхугольника
CPRH
следует, что
\angle PHR=\angle PCR
. Поскольку
PQ
— диаметр окружности, то
\angle PHQ=90^{\circ}=\angle CHB~\Rightarrow~\angle CHQ=\angle PHR=\angle PCR.

Каждый из углов
HCQ
и
CBH
дополняет угол
BCH
до
90^{\circ}
, поэтому
\angle HCQ=\angle PBH=\angle RBC.

Следовательно, треугольники
CQH
,
BPH
и
BRC
подобны по двум углам. Тогда площади этих треугольников относятся как квадраты коэффициентов подобия, поэтому
S_{\triangle CQH}+S_{\triangle BPH}=\left(\frac{CH}{BC}\right)^{2}\cdot S_{\triangle BRC}+\left(\frac{BH}{BC}\right)^{2}\cdot S_{\triangle BRC}=

=\frac{CH^{2}+BH^{2}}{BC^{2}}\cdot S_{\triangle BRC}=S_{\triangle BRC}.

Автор: Евдокимов М. А.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2025, задача 3, 9-10 классы