17482. В треугольнике ABC
с прямым углом C
провели высоту CH
. Окружность, проходящая через точки C
и H
, повторно пересекает отрезки AC
, CB
и BH
в точках Q
, P
и R
соответственно. Отрезки HP
и CR
пересекаются в точке T
(см. рис.). Что больше: площадь треугольника CPT
или сумма площадей треугольников CQH
и HTR
?
Ответ. Они равны.
Решение. Первый способ. Добавим к рассматриваемым площадям площадь треугольника PTR
. Получим, что нужно проверить равенство
S_{\triangle CQH}+S_{\triangle BPH}=S_{\triangle CPR}.
Поскольку \angle CHR=90^{\circ}
, то CR
— диаметр проведённой окружности, поэтому
\angle CQR=\angle CPR=90^{\circ}.
В четырёхугольнике CPRQ
три угла прямые, поэтому CPRQ
— прямоугольник.
Опустим из точки H
перпендикуляры HX
и HY
на прямые CQ
и PR
соответственно. Их сумма равна стороне CP
прямоугольника. Следовательно,
S_{\triangle CQH}+S_{\triangle SHP}=\frac{1}{2}HX\cdot CQ+\frac{1}{2}HY\cdot PR=\frac{1}{2}(HX+HY)\cdot PR=
=\frac{1}{2}XY\cdot PR=\frac{1}{2}CP\cdot PR=S_{\triangle CPR}.
Второй способ. Добавим к рассматриваемым площадям площадь четырёхугольника BPTR
. Получим, что нужно проверить равенство
S_{\triangle CQH}+S_{\triangle BPH}=S_{\triangle BRC}.
Из вписанности четырёхугольника CPRH
следует, что \angle PHR=\angle PCR
. Поскольку PQ
— диаметр окружности, то
\angle PHQ=90^{\circ}=\angle CHB~\Rightarrow~\angle CHQ=\angle PHR=\angle PCR.
Каждый из углов HCQ
и CBH
дополняет угол BCH
до 90^{\circ}
, поэтому
\angle HCQ=\angle PBH=\angle RBC.
Следовательно, треугольники CQH
, BPH
и BRC
подобны по двум углам. Тогда площади этих треугольников относятся как квадраты коэффициентов подобия, поэтому
S_{\triangle CQH}+S_{\triangle BPH}=\left(\frac{CH}{BC}\right)^{2}\cdot S_{\triangle BRC}+\left(\frac{BH}{BC}\right)^{2}\cdot S_{\triangle BRC}=
=\frac{CH^{2}+BH^{2}}{BC^{2}}\cdot S_{\triangle BRC}=S_{\triangle BRC}.
Автор: Евдокимов М. А.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2025, задача 3, 9-10 классы