17484. Пусть
O
— центр описанной окружности остроугольного треугольника
ABC
. На стороне
BC
отметили точку
D
. Окружности, описанные около треугольников
BOD
и
COD
, повторно пересекают отрезки
AB
и
AC
в точках
X
и
Y
соответственно. Докажите, что из отрезков
BX
,
XY
и
YC
можно сложить треугольник.
Решение. Поскольку четырёхугольники
BXOD
и
CYOD
вписанные, то
\angle XOD+\angle CBA=\angle YOD+\angle ACB=180^{\circ},

а так как
\angle XOD+\angle YOD=360^{\circ}-\angle ACB-\angle CBA\gt360^{\circ}-\angle ACB-\angle CBA-BAC=180^{\circ},

то точки
O
и
A
лежат по разные стороны от прямой
XY
. В частности, мы показали, что точка
O
лежит строго внутри треугольника
XYD
.
Тогда
\angle XOY+\angle BAC=360^{\circ}-\angle XOD-\angle YOD+\angle BAC=

=(180^{\circ}-\angle XOD)+(180^{\circ}-\angle YOD)+\angle BAC=

=\angle CBA+\angle ACB+\angle BAC=180^{\circ},

поэтому четырёхугольник
AXOY
тоже вписанный.
Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ. Пусть точка
Z
, отличная от
C
, на отрезке
BC
такова, что
YC=YZ
(рис. 1). Тогда поскольку треугольник
YZC
равнобедренный, с основанием
CZ
, то
\angle YZC=\angle ACB
. Заметим, что
\angle YXD=\angle YXO+\angle DXO=\angle YAO+\angle DBO=\angle YCO+\angle DCO=\angle BCA.

Значит,
\angle YZC=\angle YXD
, откуда следует (вне зависимости от порядка расположения точек
D
и
Z
на отрезке
BC
), что точки
X
,
Y
,
Z
и
D
лежат на одной окружности. Следовательно,
\angle XZD=\angle XYD=\angle XYO+\angle DYO=\angle XAO+\angle DCO=

=(90^{\circ}-\angle BCA)+(90^{\circ}-\angle BAC)=\angle ABC.

Поэтому треугольник
XZB
равнобедренный,
XZ=XB
. Получаем, что треугольник
XYZ
составлен из отрезков
XY
,
XZ
и
YZ
, равных
XY
,
BX
и
CY
соответственно. Что и требовалось.
Второй способ. Пусть точки
X'
,
Y'
симметричны точкам
X
и
Y
относительно середин
M
и
N
сторон
AB
и
AC
соответственно (рис. 2). Поскольку
O
— точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника,
\angle OMA=\angle ONA=90^{\circ}.

Тогда из четырёхугольников
MONA
и
XONA
находим
\angle MON=\angle XOY=180^{\circ}-\angle BAC.

Не ограничивая общности, предположим, что
X
лежит на отрезке
AM
. Поскольку
\angle MON=\angle XOY
, точка
Y
лежит на отрезке
NC
. Получаем, что
\angle XOX'=2\angle XOM=2(\angle MON-\angle XON)=2(\angle XOY-\angle XON)=2\angle YON=\angle YOY'.

Следовательно, треугольники
X'OY'
и
XOY
равны по двум сторонам и углу между ними (на самом деле, мы показали, что они совмещаются поворотом с центром в точке
O
на угол
\angle YOY'=XOX'
). Тогда
X'Y'=XY
. Поскольку
AX'=BX
и
AY'=CY
из симметрии, получаем, что треугольник
AX'Y
составлен из отрезков, равных
XY
,
BX
и
CY
, что и требовалось.
Третий способ. По теореме синусов радиус окружности, описанной около четырёхугольника
AXOY
, равен
\frac{AO}{2\sin\angle AXO}
, а радиус окружности, описанной около четырёхугольника
BXOD
, равен
\frac{BO}{2\sin\angle\sin\angle BXO}
. Поскольку
BO=AO
и
\angle BXO+\angle AXO=180^{\circ}
, получаем, что радиусы этих двух окружностей равны. Проводя аналогичное рассуждение для четырёхугольников
AXOY
и
CYOD
, получаем, что радиусы окружностей, описанных около всех трёх четырёхугольников
AXOY
,
BXOD
и
CYOD
равны.
Обозначим эти окружности
\omega_{1}
,
\omega_{2}
,
\omega_{1}
соответственно (рис. 3). Для того чтобы показать, что из отрезков
BX
,
XY
,
YC
можно сложить треугольник, достаточно проверить, что вписанные углы, опирающиеся на эти отрезки в окружностях
\omega_{1}
,
\omega_{2}
,
\omega_{1}
соответственно, в сумме дают
180^{\circ}
.
Убедимся в этом. Заметим, что
\angle BOX+\angle COY=\angle BDX+\angle CDY=180^{\circ}-\angle ODX-\angle ODY=180^{\circ}-\angle OBA-\angle OCA=

=180^{\circ}-(90^{\circ}-\angle ACB)-(90^{\circ}-\angle CBA)=\angle ACB+\angle CBA.

Таким образом,
\angle XAY+\angle BOX+\angle COY=\angle BAC+\angle ACB+\angle CBA=180^{\circ}.

Что и требовалось доказать.
Примечание. Отметим, что во всех трёх способах решения неявно предполагается, что точки
X
и
Y
отличны от
A
. Тем не менее все три рассуждения можно уточнить и в противном случае. Например, если точка
X
совпадёт с точкой
A
, то утверждение о вписанности четырёхугольника
AXOY
из решения нужно заменить на утверждение о касании описанной окружности треугольника
AOY
стороны
AB
в точке
A
.
Автор: Соколов А. А.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2025, задача 3, второй день, 11 класс