17484. Пусть O
— центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC
. На стороне BC
отметили точку D
. Окружности, описанные около треугольников BOD
и COD
, повторно пересекают отрезки AB
и AC
в точках X
и Y
соответственно. Докажите, что из отрезков BX
, XY
и YC
можно сложить треугольник.
Решение. Поскольку четырёхугольники BXOD
и CYOD
вписанные, то
\angle XOD+\angle CBA=\angle YOD+\angle ACB=180^{\circ},
а так как
\angle XOD+\angle YOD=360^{\circ}-\angle ACB-\angle CBA\gt360^{\circ}-\angle ACB-\angle CBA-BAC=180^{\circ},
то точки O
и A
лежат по разные стороны от прямой XY
. В частности, мы показали, что точка O
лежит строго внутри треугольника XYD
.
Тогда
\angle XOY+\angle BAC=360^{\circ}-\angle XOD-\angle YOD+\angle BAC=
=(180^{\circ}-\angle XOD)+(180^{\circ}-\angle YOD)+\angle BAC=
=\angle CBA+\angle ACB+\angle BAC=180^{\circ},
поэтому четырёхугольник AXOY
тоже вписанный.
Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ. Пусть точка Z
, отличная от C
, на отрезке BC
такова, что YC=YZ
(рис. 1). Тогда поскольку треугольник YZC
равнобедренный, с основанием CZ
, то \angle YZC=\angle ACB
. Заметим, что
\angle YXD=\angle YXO+\angle DXO=\angle YAO+\angle DBO=\angle YCO+\angle DCO=\angle BCA.
Значит, \angle YZC=\angle YXD
, откуда следует (вне зависимости от порядка расположения точек D
и Z
на отрезке BC
), что точки X
, Y
, Z
и D
лежат на одной окружности. Следовательно,
\angle XZD=\angle XYD=\angle XYO+\angle DYO=\angle XAO+\angle DCO=
=(90^{\circ}-\angle BCA)+(90^{\circ}-\angle BAC)=\angle ABC.
Поэтому треугольник XZB
равнобедренный, XZ=XB
. Получаем, что треугольник XYZ
составлен из отрезков XY
, XZ
и YZ
, равных XY
, BX
и CY
соответственно. Что и требовалось.
Второй способ. Пусть точки X'
, Y'
симметричны точкам X
и Y
относительно середин M
и N
сторон AB
и AC
соответственно (рис. 2). Поскольку O
— точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника,
\angle OMA=\angle ONA=90^{\circ}.
Тогда из четырёхугольников MONA
и XONA
находим
\angle MON=\angle XOY=180^{\circ}-\angle BAC.
Не ограничивая общности, предположим, что X
лежит на отрезке AM
. Поскольку \angle MON=\angle XOY
, точка Y
лежит на отрезке NC
. Получаем, что
\angle XOX'=2\angle XOM=2(\angle MON-\angle XON)=2(\angle XOY-\angle XON)=2\angle YON=\angle YOY'.
Следовательно, треугольники X'OY'
и XOY
равны по двум сторонам и углу между ними (на самом деле, мы показали, что они совмещаются поворотом с центром в точке O
на угол \angle YOY'=XOX'
). Тогда X'Y'=XY
. Поскольку AX'=BX
и AY'=CY
из симметрии, получаем, что треугольник AX'Y
составлен из отрезков, равных XY
, BX
и CY
, что и требовалось.
Третий способ. По теореме синусов радиус окружности, описанной около четырёхугольника AXOY
, равен \frac{AO}{2\sin\angle AXO}
, а радиус окружности, описанной около четырёхугольника BXOD
, равен \frac{BO}{2\sin\angle\sin\angle BXO}
. Поскольку BO=AO
и \angle BXO+\angle AXO=180^{\circ}
, получаем, что радиусы этих двух окружностей равны. Проводя аналогичное рассуждение для четырёхугольников AXOY
и CYOD
, получаем, что радиусы окружностей, описанных около всех трёх четырёхугольников AXOY
, BXOD
и CYOD
равны.
Обозначим эти окружности \omega_{1}
, \omega_{2}
, \omega_{1}
соответственно (рис. 3). Для того чтобы показать, что из отрезков BX
, XY
, YC
можно сложить треугольник, достаточно проверить, что вписанные углы, опирающиеся на эти отрезки в окружностях \omega_{1}
, \omega_{2}
, \omega_{1}
соответственно, в сумме дают 180^{\circ}
.
Убедимся в этом. Заметим, что
\angle BOX+\angle COY=\angle BDX+\angle CDY=180^{\circ}-\angle ODX-\angle ODY=180^{\circ}-\angle OBA-\angle OCA=
=180^{\circ}-(90^{\circ}-\angle ACB)-(90^{\circ}-\angle CBA)=\angle ACB+\angle CBA.
Таким образом,
\angle XAY+\angle BOX+\angle COY=\angle BAC+\angle ACB+\angle CBA=180^{\circ}.
Что и требовалось доказать.
Примечание. Отметим, что во всех трёх способах решения неявно предполагается, что точки X
и Y
отличны от A
. Тем не менее все три рассуждения можно уточнить и в противном случае. Например, если точка X
совпадёт с точкой A
, то утверждение о вписанности четырёхугольника AXOY
из решения нужно заменить на утверждение о касании описанной окружности треугольника AOY
стороны AB
в точке A
.
Автор: Соколов А. А.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2025, задача 3, второй день, 11 класс