17489. Прямая
l
, пересекающая стороны
AB
и
AC
треугольника
ABC
, разбивает его на равносторонний треугольник и на четырёхугольник. Пусть
X
и
Y
— проекции точек
B
и
C
на прямую
L
. Найдите отрезок
XY
, если
AB=20
,
AC=21

Ответ.
\frac{41}{2}
.
Решение. Обозначим точки пересечения
l
с
AB
и
AC
как
P
и
Q
соответственно. Заметим, что
\angle XPB=\angle APQ=60^{\circ}
(так как треугольник
APQ
равносторонний по условию), поэтому треугольник
PXB
прямоугольный с острыми углами
60^{\circ}
и
30^{\circ}
. Значит,
XP=\frac{1}{2}BP
. Аналогично,
QY=\frac{1}{2}CQ
.
Тогда запишем равенство (при этом будем использовать, что
PQ=AP=AQ
)
XY=XP+PQ+QY=\frac{1}{2}BP+PQ+\frac{1}{2}CQ=\frac{BP+2PQ+QY}{2}=

=\frac{(BP+PQ)+(PQ+QY)}{2}=\frac{(BP+AP)+(AQ+QC)}{2}=\frac{AB+AC}{2}=\frac{41}{2}.

Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2024-2025, октябрь 2024, задача 6, 10 класс