17489. Прямая l
, пересекающая стороны AB
и AC
треугольника ABC
, разбивает его на равносторонний треугольник и на четырёхугольник. Пусть X
и Y
— проекции точек B
и C
на прямую L
. Найдите отрезок XY
, если AB=20
, AC=21
Ответ. \frac{41}{2}
.
Решение. Обозначим точки пересечения l
с AB
и AC
как P
и Q
соответственно. Заметим, что \angle XPB=\angle APQ=60^{\circ}
(так как треугольник APQ
равносторонний по условию), поэтому треугольник PXB
прямоугольный с острыми углами 60^{\circ}
и 30^{\circ}
. Значит, XP=\frac{1}{2}BP
. Аналогично, QY=\frac{1}{2}CQ
.
Тогда запишем равенство (при этом будем использовать, что PQ=AP=AQ
)
XY=XP+PQ+QY=\frac{1}{2}BP+PQ+\frac{1}{2}CQ=\frac{BP+2PQ+QY}{2}=
=\frac{(BP+PQ)+(PQ+QY)}{2}=\frac{(BP+AP)+(AQ+QC)}{2}=\frac{AB+AC}{2}=\frac{41}{2}.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2024-2025, октябрь 2024, задача 6, 10 класс