1749. Прямая касается окружности с центром O
в точке A
. Точка C
на этой прямой и точка D
на окружности расположены по одну сторону от прямой OA
. Докажите, что угол CAD
вдвое меньше угла AOD
.
Указание. Треугольник AOD
— равнобедренный.
Решение. Поскольку точки C
и O
расположены по разные стороны от прямой AD
, то луч AD
расположен между сторонами угла OAC
. Кроме того AO\perp AC
. Поэтому
\angle CAD=\angle CAO-\angle OAD=90^{\circ}-\angle OAD.
Из равнобедренного треугольника DAO
находим, что
\angle AOD=180^{\circ}-2\angle OAD=2(90^{\circ}-\angle OAD)=2\angle CAD.