17490. На сторонах правильного семиугольника со стороной 2 отмечены две точки A
и B
. Чему может быть равен отрезок AB
: а) 1, б) 4, в) 7, г) 15?
Ответ. а) 1; б) 4.
Решение. а) Достаточно выбрать две точки на одной стороне на расстоянии 1 друг от друга.
б) Пусть P
, Q
, R
, S
— четыре последовательные вершины семиугольника (рис. 1). Тогда PQRS
— равнобедренная трапеция. Опустим из Q
и R
перпендикуляры QM
и RN
на основание PS
.
Заметим, что
\angle PQM=\frac{180^{\circ}(7-2)}{7}-90^{\circ}\gt128^{\circ}-90^{\circ}\gt30^{\circ},
откуда
PM\gt PQ\sin30^{\circ}=2\cdot\frac{1}{2}=1.
Тогда на отрезке PQ
найдётся точка A
, для которой перпендикуляр из A
на MQ
будет равен 1. Тогда продолжение этого перпендикуляра до пересечения с RS
будет равен 1+2+1=4, что и требовалось.
в) Заметим, что от точки A
до точки B
можно «добраться по границе» 7-угольника, пройдя расстояние (по границе) не более 7: весь периметр 7-угольника равен 14, т. е. хотя бы один из путей будет не более 7. Но тогда длина отрезка AB
будет строго меньше 7.
г) Аналогично пункту в).
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2024-2025, октябрь 2024, школьный этап, задача 3, 11 класс