17490. На сторонах правильного семиугольника со стороной 2 отмечены две точки
A
и
B
. Чему может быть равен отрезок
AB
: а) 1, б) 4, в) 7, г) 15?
Ответ. а) 1; б) 4.
Решение. а) Достаточно выбрать две точки на одной стороне на расстоянии 1 друг от друга.
б) Пусть
P
,
Q
,
R
,
S
— четыре последовательные вершины семиугольника (рис. 1). Тогда
PQRS
— равнобедренная трапеция. Опустим из
Q
и
R
перпендикуляры
QM
и
RN
на основание
PS
.
Заметим, что
\angle PQM=\frac{180^{\circ}(7-2)}{7}-90^{\circ}\gt128^{\circ}-90^{\circ}\gt30^{\circ},

откуда
PM\gt PQ\sin30^{\circ}=2\cdot\frac{1}{2}=1.

Тогда на отрезке
PQ
найдётся точка
A
, для которой перпендикуляр из
A
на
MQ
будет равен 1. Тогда продолжение этого перпендикуляра до пересечения с
RS
будет равен 1+2+1=4, что и требовалось.
в) Заметим, что от точки
A
до точки
B
можно «добраться по границе» 7-угольника, пройдя расстояние (по границе) не более 7: весь периметр 7-угольника равен 14, т. е. хотя бы один из путей будет не более 7. Но тогда длина отрезка
AB
будет строго меньше 7.
г) Аналогично пункту в).
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2024-2025, октябрь 2024, школьный этап, задача 3, 11 класс