17492. Внутри трапеции ABCD
с основаниями AD
и BC
отметили точку O
. Оказалось, что AO=BO=CO=BC
и DA=DO=DC
. Сколько градусов составляет угол BAO
?
Ответ. 20^{\circ}
.
Решение. Треугольник BOC
равносторонний, поэтому
\angle BOC=\angle CBO=60^{\circ}.
Обозначим
\angle ABC=\angle BAC=\alpha,~\angle OCD=\angle COD=\angle AOD=\angle DOA=\beta.
Тогда,
\angle BCD+\angle ADC=180^{\circ},~\mbox{или}~(60^{\circ}+\beta)+2(180^{\circ}-2\beta)=180^{\circ},
откуда \beta=80^{\circ}
.
В то же время
\angle ABC+\angle BAD=180^{\circ},~\mbox{или}~(60^{\circ}+\alpha)+(\alpha+\beta)=180^{\circ}.
Следовательно,
\alpha=\frac{120^{\circ}-\beta}{2}=\frac{120^{\circ}-80^{\circ}}{2}=20^{\circ}.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2024-2025, декабрь 2025, муниципальный этап, задача 3, 8 класс