17493. В прямоугольном треугольнике ABC
с прямым углом C
провели высоту CH
. На гипотенузе AB
отметили точки X
и Y
, для которых CX
и CY
— биссектрисы углов BCH
и HCA
соответственно. Найдите, чему равна сторона AB
, если известно, что периметр треугольника ABC
равен 44, а отрезок XY
равен 6.
Ответ. 21.
Решение. Обозначим острые углы треугольника ABC
при вершинах A
и B
через \alpha
и \beta
соответственно, противолежащие им катеты — через a
и b
соответственно, а гипотенузу — через c
. Тогда
\angle BCX=\angle BCH+\angle HCX=\alpha+\frac{\beta}{2},~\angle CXB=\angle CAX+\angle ACX=\alpha+\frac{\beta}{2}.
Значит, треугольник CBX
равнобедренный с основанием CX
. Тогда BX=BC=a
. Аналогично докажем, что AY=AC=b
. Следовательно,
c=AB=AY+BX-XY=b+a-6~\Rightarrow~c=(44-c)-6=38-c~\Rightarrow~AB=c=19.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2024-2025, декабрь 2025, муниципальный этап, задача 7, 8 класс