17493. В прямоугольном треугольнике
ABC
с прямым углом
C
провели высоту
CH
. На гипотенузе
AB
отметили точки
X
и
Y
, для которых
CX
и
CY
— биссектрисы углов
BCH
и
HCA
соответственно. Найдите, чему равна сторона
AB
, если известно, что периметр треугольника
ABC
равен 44, а отрезок
XY
равен 6.
Ответ. 21.
Решение. Обозначим острые углы треугольника
ABC
при вершинах
A
и
B
через
\alpha
и
\beta
соответственно, противолежащие им катеты — через
a
и
b
соответственно, а гипотенузу — через
c
. Тогда
\angle BCX=\angle BCH+\angle HCX=\alpha+\frac{\beta}{2},~\angle CXB=\angle CAX+\angle ACX=\alpha+\frac{\beta}{2}.

Значит, треугольник
CBX
равнобедренный с основанием
CX
. Тогда
BX=BC=a
. Аналогично докажем, что
AY=AC=b
. Следовательно,
c=AB=AY+BX-XY=b+a-6~\Rightarrow~c=(44-c)-6=38-c~\Rightarrow~AB=c=19.

Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2024-2025, декабрь 2025, муниципальный этап, задача 7, 8 класс