17494. В остроугольном треугольнике
ABC
провели высоты
BB_{1}
и
CC_{1}
. Точки
M
и
N
— середины сторон
AC
и
AB
соответственно. Прямая
C_{1}M
повторно пересекает описанную окружность треугольника
BCC_{1}
в точке
X
. Точка
O
— центр описанной окружности треугольника
B_{1}MX
. Найдите
ON
, если
AB=10
,
B_{1}M=3
,
\angle A=60^{\circ}
.
Ответ. 8.
Решение. По теореме о вписанных углах, опирающихся на одну и ту же дугу,
\angle MXB_{1}=\angle C_{1}XB_{1}=\angle ABB_{1}=90^{\circ}-\angle BAC=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}.

Центральный угол
MOB_{1}
описанной окружности треугольника
B_{1}MX
вдвое больше вписанного в эту окружность угла
MXB_{1}
, поэтому
\angle MOB_{1}=60^{\circ}
. Значит, равнобедренный треугольник
MOB_{1}
— равносторонний. Следовательно,
OB_{1}=B_{1}M=3
.
Медиана
B_{1}N
прямоугольного треугольника
AB_{1}B
, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы, т. е.
B_{1}N=\frac{1}{2}AB=5
. Значит, равнобедренный треугольник
ANB_{1}
— тоже равносторонний.
Таким образом,
\angle AB_{1}N=60^{\circ}=\angle MB_{1}O,

поэтому точки
O
,
B_{1}
и
N
лежат на одной прямой, причём точка
B_{1}
лежит между
O
и
N
. Следовательно,
O_{1}N=OB_{1}+B_{1}N=3+5=8.

Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2024-2025, декабрь 2025, муниципальный этап, задача 9, 9 класс