17494. В остроугольном треугольнике ABC
провели высоты BB_{1}
и CC_{1}
. Точки M
и N
— середины сторон AC
и AB
соответственно. Прямая C_{1}M
повторно пересекает описанную окружность треугольника BCC_{1}
в точке X
. Точка O
— центр описанной окружности треугольника B_{1}MX
. Найдите ON
, если AB=10
, B_{1}M=3
, \angle A=60^{\circ}
.
Ответ. 8.
Решение. По теореме о вписанных углах, опирающихся на одну и ту же дугу,
\angle MXB_{1}=\angle C_{1}XB_{1}=\angle ABB_{1}=90^{\circ}-\angle BAC=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}.
Центральный угол MOB_{1}
описанной окружности треугольника B_{1}MX
вдвое больше вписанного в эту окружность угла MXB_{1}
, поэтому \angle MOB_{1}=60^{\circ}
. Значит, равнобедренный треугольник MOB_{1}
— равносторонний. Следовательно, OB_{1}=B_{1}M=3
.
Медиана B_{1}N
прямоугольного треугольника AB_{1}B
, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы, т. е. B_{1}N=\frac{1}{2}AB=5
. Значит, равнобедренный треугольник ANB_{1}
— тоже равносторонний.
Таким образом,
\angle AB_{1}N=60^{\circ}=\angle MB_{1}O,
поэтому точки O
, B_{1}
и N
лежат на одной прямой, причём точка B_{1}
лежит между O
и N
. Следовательно,
O_{1}N=OB_{1}+B_{1}N=3+5=8.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2024-2025, декабрь 2025, муниципальный этап, задача 9, 9 класс