17495. Дан четырёхугольник
ABCD
, причём
AD=BC
,
\angle DAC=97^{\circ}
,
\angle CBD=83^{\circ}
и
\angle BCD=65^{\circ}
. Найдите
\angle ACD
.
Ответ.
32^{\circ}
.
Решение. Пусть
A'
— точка, симметричная точке
A
относительно прямой
CD
. Тогда
\angle DA'C=\angle DAC=97^{\circ}~\Rightarrow~\angle DA'C+\angle CBD=97^{\circ}+83^{\circ}=180^{\circ},

поэтому четырёхугольник
BCA'D
вписан в некоторую окружность. Вписанные в эту окружность углы
A'CD
и
BDC
опираются на равные хорды
A'D=AD=BC
. Следовательно,
\angle ACD=\angle A'CD=\angle BDC=180^{\circ}-\angle CBD-\angle BCD=180^{\circ}-83^{\circ}-65^{\circ}=32^{\circ}.

Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2024-2025, декабрь 2025, муниципальный этап, задача 6, 10 класс