17495. Дан четырёхугольник ABCD
, причём AD=BC
, \angle DAC=97^{\circ}
, \angle CBD=83^{\circ}
и \angle BCD=65^{\circ}
. Найдите \angle ACD
.
Ответ. 32^{\circ}
.
Решение. Пусть A'
— точка, симметричная точке A
относительно прямой CD
. Тогда
\angle DA'C=\angle DAC=97^{\circ}~\Rightarrow~\angle DA'C+\angle CBD=97^{\circ}+83^{\circ}=180^{\circ},
поэтому четырёхугольник BCA'D
вписан в некоторую окружность. Вписанные в эту окружность углы A'CD
и BDC
опираются на равные хорды A'D=AD=BC
. Следовательно,
\angle ACD=\angle A'CD=\angle BDC=180^{\circ}-\angle CBD-\angle BCD=180^{\circ}-83^{\circ}-65^{\circ}=32^{\circ}.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2024-2025, декабрь 2025, муниципальный этап, задача 6, 10 класс