17496. Три окружности радиусов
a
,
b
,
c
касаются как на рисунке, а их центры
Q
,
R
,
S
вместе с точкой
T
являются вершинами прямоугольника, причём точка
T
лежит на окружности с центром
S
. Найдите площадь прямоугольника
QRST
, если
b=5
.
Ответ. 300.
Решение. Пусть окружности с центрами
Q
и
S
касаются в точке
A
, а прямая
QS
пересекает окружность с центром
S
в точке
B
, отличной от
A
. Прямая
QT
проходит через точку
T
, лежащую на окружности с центром
S
, и перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку, поэтому
QT
— касательная к этой окружности.
По теореме о касательной и секущей
(5+c)^{2}=SR^{2}=QT^{2}=QA\cdot QB=a(a+2c),~\mbox{или}~(a+5)^{2}=c^{2},

а так как
a+5\gt0
и
c\gt0
, то
c=a+5
.
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника
SRQ
получаем
SQ^{2}=SR^{2}+QR^{2}~\mbox{или}~(a+c)^{2}=(5+c)^{2}+(5+a)^{2}.

подставив в это равенство
c=a+5
, после очевидных упрощений получаем квадратное уравнение
a^{2}-5a-50=0.

Условию задачи удовлетворяет только его положительный корень
a=10
. Тогда
c=a+5=15
. Следовательно, площадь прямоугольника
QRST
равна
SR\cdot QR=(c+5)(a+5)=20\cdot15=300.

Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2024-2025, декабрь 2025, муниципальный этап, задача 3, 11 класс