17496. Три окружности радиусов a
, b
, c
касаются как на рисунке, а их центры Q
, R
, S
вместе с точкой T
являются вершинами прямоугольника, причём точка T
лежит на окружности с центром S
. Найдите площадь прямоугольника QRST
, если b=5
.
Ответ. 300.
Решение. Пусть окружности с центрами Q
и S
касаются в точке A
, а прямая QS
пересекает окружность с центром S
в точке B
, отличной от A
. Прямая QT
проходит через точку T
, лежащую на окружности с центром S
, и перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку, поэтому QT
— касательная к этой окружности.
По теореме о касательной и секущей
(5+c)^{2}=SR^{2}=QT^{2}=QA\cdot QB=a(a+2c),~\mbox{или}~(a+5)^{2}=c^{2},
а так как a+5\gt0
и c\gt0
, то c=a+5
.
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника SRQ
получаем
SQ^{2}=SR^{2}+QR^{2}~\mbox{или}~(a+c)^{2}=(5+c)^{2}+(5+a)^{2}.
подставив в это равенство c=a+5
, после очевидных упрощений получаем квадратное уравнение
a^{2}-5a-50=0.
Условию задачи удовлетворяет только его положительный корень a=10
. Тогда c=a+5=15
. Следовательно, площадь прямоугольника QRST
равна
SR\cdot QR=(c+5)(a+5)=20\cdot15=300.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2024-2025, декабрь 2025, муниципальный этап, задача 3, 11 класс