17499. Пусть M
— середина стороны BC
треугольника ABC
. На продолжении стороны AB
за точку B
нашлась точка D
, для которой \angle ADM=\angle ACM=30^{\circ}
. Точка O
— центр окружности, описанной около треугольника ACD
. Найдите угол OBC
.
Ответ. 30^{\circ}
.
Решение. Отметим точку P
таким образом, что треугольник BPC
равносторонний и точки P
и A
лежали бы по разные стороны от прямой BC
. Тогда его медиана PM
является биссектрисой угла BPC
, равного 60^{\circ}
, точки D
и P
лежат по одну сторону от прямой BM
и
\angle BPM=30^{\circ}=\angle BDM.
Тогда около четырёхугольника BMPD
можно описать окружность, а так как \angle BMP=90^{\circ}
, то BP
— её диаметр, а
\angle ADP=\angle BDP=90^{\circ}.
Поскольку
\angle ACP=\angle ACB+\angle BCP=30^{\circ}+60^{\circ}=90^{\circ}=\angle BDP,
то около четырёхугольника ACPD
тоже можно описать окружность, причём её центр совпадает с центром O
описанной окружности треугольника BCD
. В частности, точка O
лежит на серединном перпендикуляре к стороне CP
, содержащем биссектрису угла PBC
. Следовательно,
\angle CBO=\frac{1}{2}\angle CBP=30^{\circ}.
Автор: Кузнецов А. С.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2024-2025, 1 февраля 2025, региональный этап, второй день, задача 5, 9 класс