17506. В остроугольном треугольнике
ABC
отмечены точки
I
и
O
— центры вписанной и описанной окружностей соответственно. Прямые
AI
и
CI
вторично пересекают описанную окружность треугольника
ABC
в точках
N
и
M
. Отрезки
MN
и
BO
пересекаются в точке
X
. Докажите, что прямые
XI
и
AC
перпендикулярны.
Решение. Заметим, что
M
и
N
— середины дуг
AB
и
BC
соответственно, поэтому треугольники
MBN
и
MIN
равны по общей стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, треугольники
MBX
и
MIX
равны по двум сторонам и углу между ними. Пусть луч
XI
пересекает сторону
AC
в точке
K
. Тогда
\angle KIC=\angle MIX=\angle MBX=\angle MBA+\angle ABO=

=\frac{1}{2}\angle ACB+\frac{1}{2}(180^{\circ}-2\angle ACB)=90^{\circ}-\angle KCI.

Следовательно, угол
IKC
прямой. Что и требовалось доказать.
Примечание. Равенство треугольников
MBN
и
MIN
следует также из теоремы о трилистнике (см. задачу 788).
Автор: Ивлев Ф. А.
Источник: Турнир городов. — 2024-2025, XLVI, осенний тур, 6 октября, сложный вариант, 8-9 классы, задача 3