17506. В остроугольном треугольнике ABC
отмечены точки I
и O
— центры вписанной и описанной окружностей соответственно. Прямые AI
и CI
вторично пересекают описанную окружность треугольника ABC
в точках N
и M
. Отрезки MN
и BO
пересекаются в точке X
. Докажите, что прямые XI
и AC
перпендикулярны.
Решение. Заметим, что M
и N
— середины дуг AB
и BC
соответственно, поэтому треугольники MBN
и MIN
равны по общей стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, треугольники MBX
и MIX
равны по двум сторонам и углу между ними. Пусть луч XI
пересекает сторону AC
в точке K
. Тогда
\angle KIC=\angle MIX=\angle MBX=\angle MBA+\angle ABO=
=\frac{1}{2}\angle ACB+\frac{1}{2}(180^{\circ}-2\angle ACB)=90^{\circ}-\angle KCI.
Следовательно, угол IKC
прямой. Что и требовалось доказать.
Примечание. Равенство треугольников MBN
и MIN
следует также из теоремы о трилистнике (см. задачу 788).
Автор: Ивлев Ф. А.
Источник: Турнир городов. — 2024-2025, XLVI, осенний тур, 6 октября, сложный вариант, 8-9 классы, задача 3