17508. На стороне
CD
прямоугольника
ABCD
взята точка
K
. Из вершины
B
опустили перпендикуляр
BH
на отрезок
AK
. Оказалось, что отрезки
AK
и
BH
делят прямоугольник на три части, в каждую из которых можно вписать круг (см. рисунок). Докажите, что если круги, касающиеся стороны
CD
, равны, то и третий круг им равен.
Решение. Уточним, что точки
H
и
K
предполагаются различными, как на рисунке (иначе утверждение задачи неверно).
Продлим отрезок
AK
до пересечения с прямой
BC
в точке
E
. Два правых круга симметричны относительно горизонтальной средней линии нашего прямоугольника. Значит, углы
CBH
и
AH
равны. Значит,
AHB
— равнобедренный прямоугольный треугольник. Поэтому и
BHE
— равнобедренный прямоугольный треугольник, равный треугольнику
AHB
. Окружности, вписанные в равные треугольники, равны.
Автор: Евдокимов М. А.
Источник: Турнир городов. — 2024-2025, XLVI, весенний, базовый вариант, 8-9 классы, задача 5