17508. На стороне CD
прямоугольника ABCD
взята точка K
. Из вершины B
опустили перпендикуляр BH
на отрезок AK
. Оказалось, что отрезки AK
и BH
делят прямоугольник на три части, в каждую из которых можно вписать круг (см. рисунок). Докажите, что если круги, касающиеся стороны CD
, равны, то и третий круг им равен.
Решение. Уточним, что точки H
и K
предполагаются различными, как на рисунке (иначе утверждение задачи неверно).
Продлим отрезок AK
до пересечения с прямой BC
в точке E
. Два правых круга симметричны относительно горизонтальной средней линии нашего прямоугольника. Значит, углы CBH
и AH
равны. Значит, AHB
— равнобедренный прямоугольный треугольник. Поэтому и BHE
— равнобедренный прямоугольный треугольник, равный треугольнику AHB
. Окружности, вписанные в равные треугольники, равны.
Автор: Евдокимов М. А.
Источник: Турнир городов. — 2024-2025, XLVI, весенний, базовый вариант, 8-9 классы, задача 5