17509. На плоскости провели 100 прямых, среди них никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. Рассмотрим всевозможные четырёхугольники, все стороны которых лежат на этих прямых (в том числе четырёхугольники, внутри которых проведены линии). Обязательно ли выпуклых среди них столько же, сколько невыпуклых?
Ответ. Обязательно.
Решение. Рассмотрим произвольный невыпуклый четырёхугольник ABCD
из условия (плоский угол A
больше 180^{\circ}
). Продлив его стороны BA
и DA
до пересечения со сторонами DC
и BC
, получим выпуклый четырёхугольник AB'CD'
(см. рисунок). Обратно, продлив стороны выпуклого четырёхугольника, получим невыпуклый. Таким образом, все четырёхугольники разбиваются на пары выпуклый-невыпуклый.
Автор: Бакаев Е. В.
Источник: Турнир городов. — 2024-2025, XLVI, весенний, базовый вариант, 10-11 классы, задача 2