17510. На сторонах AB
и BC
треугольника ABC
выбраны точки M
и N
соответственно, причём \angle MNB=\angle ANC=80^{\circ}
. Найдите \angle CAN
, если известно, что BN\cdot MA=2BM\cdot NC
.
Ответ. 10^{\circ}
.
Указание. На продолжении отрезка BC
за точку C
отложите отрезок CT=NC
.
Решение. Отметим на продолжении отрезка BC
за точку C
отложим отрезок CT=NC
. Тогда
BN\cdot MA=2BM\cdot NC~\Rightarrow~\frac{BN}{BM}=\frac{2NC}{MA}=\frac{BN}{BM}=\frac{NT}{MA},
поэтому MN\parallel AT
. Значит,
\angle ATN=\angle MNB=80^{\circ}.
Тогда треугольник ANT
равнобедренный, AT=AN
. Его медиана медиана AC
является также высотой. Значит, \angle ACN=90^{\circ}
. Следовательно,
\angle CAN=90^{\circ}-80^{\circ}=10^{\circ}.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2024/2025 9 класс, заключительный этап, задача 7, вариант 9