17510. На сторонах
AB
и
BC
треугольника
ABC
выбраны точки
M
и
N
соответственно, причём
\angle MNB=\angle ANC=80^{\circ}
. Найдите
\angle CAN
, если известно, что
BN\cdot MA=2BM\cdot NC
.
Ответ.
10^{\circ}
.
Указание. На продолжении отрезка
BC
за точку
C
отложите отрезок
CT=NC
.
Решение. Отметим на продолжении отрезка
BC
за точку
C
отложим отрезок
CT=NC
. Тогда
BN\cdot MA=2BM\cdot NC~\Rightarrow~\frac{BN}{BM}=\frac{2NC}{MA}=\frac{BN}{BM}=\frac{NT}{MA},

поэтому
MN\parallel AT
. Значит,
\angle ATN=\angle MNB=80^{\circ}.

Тогда треугольник
ANT
равнобедренный,
AT=AN
. Его медиана медиана
AC
является также высотой. Значит,
\angle ACN=90^{\circ}
. Следовательно,
\angle CAN=90^{\circ}-80^{\circ}=10^{\circ}.

Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2024/2025 9 класс, заключительный этап, задача 7, вариант 9