17511. На медиане AM
треугольника ABC
выбрана точка P
, для которой \angle BAC+\angle BPC=180^{\circ}
. Найдите AC
, если известно, что AB=5
, BP=3
, CP=4
.
Ответ. \frac{20}{3}
.
Решение. Обозначим AB=x
, BP=y
, CP=z
. Отложим на продолжении медианы AM
за точку M
отрезок MQ=PM
. Тогда BPCQ
- параллелограмм и \angle BQC=\angle BPC
. Кроме того, CQ=BP=y
, BQ=CP=z
. Заметим, что \angle BAC+\angle BQC=180^{\circ}
, поэтому около четырёхугольника ABQC
можно описать окружность.
Обозначим AM=a
, MQ=b
. По теореме о произведении пересекающихся хорд получаем, что
BM\cdot MC=AM\cdot MQ=ab~\Rightarrow~BM=CM=\sqrt{ab}.
Из подобия треугольников ABM
и CQM
следует, что
\frac{AB}{CQ}=\frac{BM}{MQ}~\Rightarrow~\frac{x}{y}=\frac{\sqrt{ab}}{b},
а из подобия треугольников BQM
и ACM
— что
\frac{BQ}{AC}=\frac{BM}{AM}~\Rightarrow~\frac{z}{AC}=\frac{\sqrt{ab}}{a},
Перемножая эти два равенства, получаем, что
\frac{xz}{y\cdot AC}=1.
Следовательно,
AC=\frac{xz}{y}=\frac{5\cdot4}{3}=\frac{20}{3}.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2024/2025 9 класс, заключительный этап, задача 4x, вариант 15