17511. На медиане
AM
треугольника
ABC
выбрана точка
P
, для которой
\angle BAC+\angle BPC=180^{\circ}
. Найдите
AC
, если известно, что
AB=5
,
BP=3
,
CP=4
.
Ответ.
\frac{20}{3}
.
Решение. Обозначим
AB=x
,
BP=y
,
CP=z
. Отложим на продолжении медианы
AM
за точку
M
отрезок
MQ=PM
. Тогда
BPCQ
- параллелограмм и
\angle BQC=\angle BPC
. Кроме того,
CQ=BP=y
,
BQ=CP=z
. Заметим, что
\angle BAC+\angle BQC=180^{\circ}
, поэтому около четырёхугольника
ABQC
можно описать окружность.
Обозначим
AM=a
,
MQ=b
. По теореме о произведении пересекающихся хорд получаем, что
BM\cdot MC=AM\cdot MQ=ab~\Rightarrow~BM=CM=\sqrt{ab}.

Из подобия треугольников
ABM
и
CQM
следует, что
\frac{AB}{CQ}=\frac{BM}{MQ}~\Rightarrow~\frac{x}{y}=\frac{\sqrt{ab}}{b},

а из подобия треугольников
BQM
и
ACM
— что
\frac{BQ}{AC}=\frac{BM}{AM}~\Rightarrow~\frac{z}{AC}=\frac{\sqrt{ab}}{a},

Перемножая эти два равенства, получаем, что
\frac{xz}{y\cdot AC}=1.

Следовательно,
AC=\frac{xz}{y}=\frac{5\cdot4}{3}=\frac{20}{3}.

Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2024/2025 9 класс, заключительный этап, задача 4x, вариант 15