17513. На дуге полукруга с центром O
и диаметром MN
взята точка K
. Построен равнобедренный прямоугольный треугольник ABC
с катетами AC
и BC
, равными радиусу полукруга, причём его вершина A
лежит на отрезке OK
, вершина B
— на отрезке ON
, вершина C
— на дуге KN
. Найдите \angle MOK
.
Ответ. 30^{\circ}
.
Решение. Опишем окружность \omega
около треугольника ABC
и проведём OC
. Из условия AC=BC=OC
. Построим серединный перпендикуляр l
к отрезку OB
. Пусть он пересекает окружность \omega
в точке D
(см. рис.). Соединим точку D
с точками O
и B
. Треугольник OCB
равнобедренный, поэтому точка C
лежит на прямой l
. Кроме того, OD=BD
. По теореме о вписанном угле
\angle CDB=\angle CAB=45^{\circ}.
Прямая CD
содержит высоту равнобедренного треугольника ODB
, поэтому она содержит биссектрису, а значит,
\angle ODC=60^{\circ}=\angle ABC.
В то же время, вписанные углы ADC
и ABC
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle ADC=\angle ABC=60^{\circ}=\angle ODB
. Значит, точки A
, O
и D
лежат на одной прямой. Следовательно,
\angle MOK=\angle MOA=\angle BOD=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2024/2025 9 класс, заключительный этап, задача 6, вариант 16