17514. Окружность
\omega
с диаметром
AB
пересекает сторону
BC
остроугольного треугольника
ABC
в точке
D
. Точка
F
выбрана на отрезке
AC
, причём
DF\perp AC
, а
E
— точка пересечения отрезка
DF
с окружностью
\omega
, отличная от
D
. Найдите
AF
, если
AC=10
,
AB=6
,
BE=5
.
Ответ.
\frac{5}{18}
.
Решение. Углы
ABE
и
ADE
равны как вписанные в окружность
\omega
и опирающиеся на дугу
AE
. Кроме того,
\angle ADF=90^{\circ}-\angle DAF=\angle ACD.

Значит,
\angle ABE=\angle ADF=\angle ACD

(обозначим этот угол через
\alpha
). Тогда треугольники
ABE
,
ADF
и
ACD
прямоугольные и имеют равные острые углы. Значит, они подобны.
Из треугольника
ABE
получаем, что
\cos\alpha=\frac{BE}{AB}=\frac{5}{6}.

Тогда из треугольников
ACD
и
CDF
находим
CF=CD\cos\alpha=AC\cos^{2}\alpha=10\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{125}{18}.

Следовательно,
CF=AC-CF=10-\frac{125}{18}=\frac{55}{18}.

Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2024/2025 10 класс, заключительный этап, задача 3, вариант 5