17514. Окружность \omega
с диаметром AB
пересекает сторону BC
остроугольного треугольника ABC
в точке D
. Точка F
выбрана на отрезке AC
, причём DF\perp AC
, а E
— точка пересечения отрезка DF
с окружностью \omega
, отличная от D
. Найдите AF
, если AC=10
, AB=6
, BE=5
.
Ответ. \frac{5}{18}
.
Решение. Углы ABE
и ADE
равны как вписанные в окружность \omega
и опирающиеся на дугу AE
. Кроме того,
\angle ADF=90^{\circ}-\angle DAF=\angle ACD.
Значит,
\angle ABE=\angle ADF=\angle ACD
(обозначим этот угол через \alpha
). Тогда треугольники ABE
, ADF
и ACD
прямоугольные и имеют равные острые углы. Значит, они подобны.
Из треугольника ABE
получаем, что
\cos\alpha=\frac{BE}{AB}=\frac{5}{6}.
Тогда из треугольников ACD
и CDF
находим
CF=CD\cos\alpha=AC\cos^{2}\alpha=10\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{125}{18}.
Следовательно,
CF=AC-CF=10-\frac{125}{18}=\frac{55}{18}.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2024/2025 10 класс, заключительный этап, задача 3, вариант 5