17520. На дуге полукруга с диаметром
MN
и центром
O
взята точка
K
. Построен треугольник
ABC
с вершиной
A
на отрезке
OK
, с вершиной
B
на отрезке
ON
, с вершиной
C
на дуге
KN
. Найдите отношение площади сектора
MOK
к площади полукруга, если известно, что
AC=BC=OM
и
\angle ACB=72^{\circ}
.
Ответ. 0,2.
Решение. Опишем окружность
\omega
около треугольника
ABC
и проведём
OC
. По условию
AC=BC=OC
. Построим серединный перпендикуляр
l
к отрезку
OB
. Пусть он пересекает окружность
\omega
в точке
D
. Соединим точку
D
с точками
O
и
B
. Треугольник
OCB
равнобедренный, поэтому точка
C
лежит на прямой
l
. Кроме того,
OD=BD
. Обозначим
\angle CAB=\angle ABC=\alpha
. По теореме о вписанном угле
\angle CDB=\angle CAB=\alpha
. Прямая
OC
содержит высоту равнобедренного треугольника
ODB
, поэтому она содержит его биссектрису, а значит,
\angle ODC=\alpha=\angle ABC
. Следовательно, точки
A
,
O
и
D
лежат на одной прямой. Тогда
\angle MOK=\angle BOD=90^{\circ}-\alpha.

По теореме о сумме углов треугольника
2\alpha+72^{\circ}=180^{\circ}~\Rightarrow~\alpha=54^{\circ}~\Rightarrow~\angle MOK=\angle BOD=

=90^{\circ}-\alpha=90^{\circ}-54^{\circ}=36^{\circ}.

Следовательно, отношение площади сектора к площади полукруга равно
\frac{36^{\circ}}{180^{\circ}}=\frac{1}{5}.

Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2024/2025 10 класс, заключительный этап, задача 1, вариант 13