17521. На дуге полукруга с диаметром MN
и центром O
взята точка K
. Построен треугольник ABC
с вершиной A
на отрезке OK
, с вершиной B
на отрезке ON
, с вершиной C
на дуге KN
. Найдите отношение площади сектора MOK
к площади полукруга, если известно, что AC=BC=OM
и \angle ACB=108^{\circ}
.
Ответ. 0,3.
Решение. Опишем окружность \omega
около треугольника ABC
и проведём OC
. По условию AC=BC=OC
. Построим серединный перпендикуляр l
к отрезку OB
. Пусть он пересекает окружность \omega
в точке D
. Соединим точку D
с точками O
и B
. Треугольник OCB
равнобедренный, поэтому точка C
лежит на прямой l
. Кроме того, OD=BD
. Обозначим \angle CAB=\angle ABC=\alpha
. По теореме о вписанном угле \angle CDB=\angle CAB=\alpha
. Прямая OC
содержит высоту равнобедренного треугольника ODB
, поэтому она содержит его биссектрису, а значит, \angle ODC=\alpha=\angle ABC
. Следовательно, точки A
, O
и D
лежат на одной прямой. Тогда
\angle MOK=\angle BOD=90^{\circ}-\alpha.
По теореме о сумме углов треугольника
2\alpha+108^{\circ}=180^{\circ}~\Rightarrow~\alpha=36^{\circ}~\Rightarrow~\angle MOK=\angle BOD=
=90^{\circ}-\angle CDA=90^{\circ}-\angle CBA=90^{\circ}-\alpha=90^{\circ}-36^{\circ}=54^{\circ}.
Следовательно, отношение площади сектора к площади полукруга равно
\frac{54^{\circ}}{180^{\circ}}=\frac{3}{10}.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2024/2025 10 класс, заключительный этап, задача 1, вариант 14