17524. Точка
O
— центр окружности
\omega_{1}
, описанной около остроугольного треугольника
ABC
. Окружность
\omega_{2}
, описанная около треугольника
BOC
, пересекает отрезок
AB
в точке
P
. Найдите площадь треугольника
ABC
, если
AP=\frac{15}{2}
,
BP=5
,
AC=9
.
Ответ. 45.
Решение. Угол
BAC
вписан в окружность
\omega_{1}
, а
BOC
— соответствующий ему центральный угол этой окружности. Значит,
\angle BOC=2\angle BAC
. Кроме того, углы
BOC
и
BPC
вписаны в окружность
\omega_{2}
и опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны.
Обозначим
\angle BAC=\alpha
. Тогда
\angle BOC=2\alpha,~\angle BPC=\angle BOC=2\alpha,

а по теореме о внешнем угле треугольника
\angle ACP=\angle BPC-\angle BAC=2\alpha-\alpha=\alpha.

Значит, треугольник
ACP
равнобедренный,
CP=AP=\frac{15}{2}
. Пусть
PH
— его высота. Тогда
PH=\sqrt{AP^{2}-AH^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}-\frac{81}{4}}=6,

\sin\alpha=\sin\angle PAC=\frac{PH}{AP}=\frac{6}{\frac{15}{2}}=\frac{4}{5}.

Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin\alpha=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{15}{2}+5\right)\cdot9\cdot\frac{4}{5}=45.

Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2024/2025 11 класс, заключительный этап, задача 5, вариант 1