17524. Точка O
— центр окружности \omega_{1}
, описанной около остроугольного треугольника ABC
. Окружность \omega_{2}
, описанная около треугольника BOC
, пересекает отрезок AB
в точке P
. Найдите площадь треугольника ABC
, если AP=\frac{15}{2}
, BP=5
, AC=9
.
Ответ. 45.
Решение. Угол BAC
вписан в окружность \omega_{1}
, а BOC
— соответствующий ему центральный угол этой окружности. Значит, \angle BOC=2\angle BAC
. Кроме того, углы BOC
и BPC
вписаны в окружность \omega_{2}
и опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны.
Обозначим \angle BAC=\alpha
. Тогда
\angle BOC=2\alpha,~\angle BPC=\angle BOC=2\alpha,
а по теореме о внешнем угле треугольника
\angle ACP=\angle BPC-\angle BAC=2\alpha-\alpha=\alpha.
Значит, треугольник ACP
равнобедренный, CP=AP=\frac{15}{2}
. Пусть PH
— его высота. Тогда
PH=\sqrt{AP^{2}-AH^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}-\frac{81}{4}}=6,
\sin\alpha=\sin\angle PAC=\frac{PH}{AP}=\frac{6}{\frac{15}{2}}=\frac{4}{5}.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin\alpha=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{15}{2}+5\right)\cdot9\cdot\frac{4}{5}=45.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2024/2025 11 класс, заключительный этап, задача 5, вариант 1