17527. На сторонах BA
и BC
треугольника ABC
с тупым углом B
как на диаметрах построены окружности \omega_{1}
и \omega_{2}
соответственно, пересекающиеся в точках B
и D
. Хорда BE
окружности \omega_{1}
перпендикулярна BC
, а хорда CE
окружности \omega_{2}
перпендикулярна CE
и касается \omega_{1}
. Найдите отношение BF:BD
, если \cos\angle BCE=\frac{3}{4}
.
Ответ. \frac{\sqrt{43}}{4}
.
Указание. См. задачу 17526.
Решение. Заметим, что BF\perp CF
и BE\perp BC
по условию, AE\perp BE
, поскольку BA
— диаметр окружности \omega_{1}
, а BF\perp BA
, поскольку BF
— касательная к \omega_{1}
. Значит, ABCE
— параллелограмм. Его площадь равна, с одной стороны, BF\cdot CE
, а с другой — произведению BD\cdot CA=2BD\cdot CX
, где X
— общая середина диагоналей BE
и AC
. Приравняв два выражения для площади, получим
\frac{BF}{BD}=2\cdot\frac{CX}{CE}.
Положим BC=2a
, \angle BCE=\alpha
. Тогда
BE=2BX=2a\tg\alpha.
Поскольку BE=2BX
, по теореме Пифагора из треугольника CBX
находим
CX=\sqrt{4a^{2}+a^{2}\tg^{2}\alpha}.
Следовательно,
\frac{BF}{BD}=2\cdot\frac{CX}{CE}=2\cdot\frac{\sqrt{4+\tg^{2}\alpha}}{\left(\frac{2}{\cos\alpha}\right)}=
=\sqrt{4\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha}=\sqrt{1+3\cos^{2}\alpha}=\sqrt{1+3\cdot\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt{43}}{4}.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2024/2025 11 класс, заключительный этап, задача 5, вариант 12