17527. На сторонах
BA
и
BC
треугольника
ABC
с тупым углом
B
как на диаметрах построены окружности
\omega_{1}
и
\omega_{2}
соответственно, пересекающиеся в точках
B
и
D
. Хорда
BE
окружности
\omega_{1}
перпендикулярна
BC
, а хорда
CE
окружности
\omega_{2}
перпендикулярна
CE
и касается
\omega_{1}
. Найдите отношение
BF:BD
, если
\cos\angle BCE=\frac{3}{4}
.
Ответ.
\frac{\sqrt{43}}{4}
.
Указание. См. задачу 17526.
Решение. Заметим, что
BF\perp CF
и
BE\perp BC
по условию,
AE\perp BE
, поскольку
BA
— диаметр окружности
\omega_{1}
, а
BF\perp BA
, поскольку
BF
— касательная к
\omega_{1}
. Значит,
ABCE
— параллелограмм. Его площадь равна, с одной стороны,
BF\cdot CE
, а с другой — произведению
BD\cdot CA=2BD\cdot CX
, где
X
— общая середина диагоналей
BE
и
AC
. Приравняв два выражения для площади, получим
\frac{BF}{BD}=2\cdot\frac{CX}{CE}.

Положим
BC=2a
,
\angle BCE=\alpha
. Тогда
BE=2BX=2a\tg\alpha.

Поскольку
BE=2BX
, по теореме Пифагора из треугольника
CBX
находим
CX=\sqrt{4a^{2}+a^{2}\tg^{2}\alpha}.

Следовательно,
\frac{BF}{BD}=2\cdot\frac{CX}{CE}=2\cdot\frac{\sqrt{4+\tg^{2}\alpha}}{\left(\frac{2}{\cos\alpha}\right)}=

=\sqrt{4\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha}=\sqrt{1+3\cos^{2}\alpha}=\sqrt{1+3\cdot\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt{43}}{4}.

Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2024/2025 11 класс, заключительный этап, задача 5, вариант 12