17529. Окружность с центром
O
касается прямых
AB
и
BC
в точках
A
и
C
соответственно. Высота
CH
треугольника
ABC
пересекает эту окружность в точках
C
и
D
. Найдите отношение
AB:CH
, если площадь треугольника
ABD
равна 6, а радиус окружности равен 4.
Ответ.
4:3
.
Решение. Пусть отрезки
BO
и
AC
пересекаются в точке
N
. Треугольник
ABC
равнобедренный, а
BO
— его биссектриса угла
B
, поэтому биссектриса
BN
треугольника
ABC
является также его медианой и высотой.
Пусть
\angle OAN=\alpha
. Поскольку
OA\parallel CH
, то
\angle ACH=\alpha
. Отметим, что этот угол вписан в окружность и опирается на дугу
AD
, поэтому
\smile AD=2\alpha
. По теореме об угле между касательной и хордой
\angle DAH=\frac{1}{2}\smile AD=\alpha.

Кроме того,
\angle ABO=90^{\circ}-\angle AOB=90^{\circ}-(90^{\circ}-\alpha)=\alpha.

Тогда
AB=AO\ctg\alpha=4\ctg\alpha;~AN=AO\cos\alpha=4\cos\alpha;~AC=2AN=8\cos\alpha;

AH=AC\sin\alpha=8\cos\alpha\sin\alpha;~DH=AH\tg\alpha=8\cos\alpha\sin\alpha\tg\alpha=8\sin^{2}\alpha;

CH=AC\cos\alpha=8\cos^{2}\alpha;~\frac{AB}{CH}=\frac{4\ctg\alpha}{8\cos^{2}\alpha}=\frac{1}{2\sin\alpha\cos\alpha}.

По условию
6=S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB\cdot DH=\frac{1}{2}\cdot4\ctg\alpha\cdot8\sin^{2}\alpha=16\cos\alpha\sin\alpha,

откуда
\cos\alpha\sin\alpha=\frac{3}{8}
. Следовательно,
\frac{AB}{CH}=\frac{1}{2\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{1}{2\cdot\frac{3}{8}}=4:3.

Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2022, 9 класс, заключительный этап, задача 4, вариант 13