17531. В прямоугольном треугольнике ABC
на катете AC
и гипотенузе AB
отмечены точки D
и E
соответственно, причём DE\perp AB
. Найдите отношение AD:AC
и площадь треугольника AED
, если известно, что AC=\sqrt{7}
, BC=2\sqrt{\frac{7}{3}}
, а \angle CED=30^{\circ}
.
Ответ. AD:AC=1:3
, S_{\triangle ADE}=\frac{1}{3\sqrt{3}}
.
Решение. Из точек C
и E
отрезок BD
виден под прямым углом, поэтому точки B
, C
, D
, E
лежат на окружности с диаметром BD
. Вписанные в эту окружность углы CBD
и CED
опираются на одну и ту же дугу, а значит,
\angle CBD=\angle CED=30^{\circ}
Следовательно,
CD=\frac{BC}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{7}}{3}~\Rightarrow~AD=AC-CD=\frac{\sqrt{7}}{3}~\Rightarrow~\frac{AD}{AC}=\frac{1}{3}.
Обозначим \angle BAC=\alpha
. Тогда
AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\frac{7}{\sqrt{3}},~\sin\alpha=\frac{BC}{AB}=\frac{2}{\sqrt{7}},~\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}},~AE=AD\cos\alpha=\frac{\sqrt{7}}{3\sqrt{3}}.
Следовательно,
S_{\triangle ADE}=\frac{1}{2}AD\cdot AE\sin\alpha=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{7}}{3}\cdot\frac{\sqrt{7}}{3\sqrt{3}}\cdot\frac{2}{\sqrt{7}}=\frac{1}{3\sqrt{3}}.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2022, 9 класс, заключительный этап, задача 5, вариант 13