17531. В прямоугольном треугольнике
ABC
на катете
AC
и гипотенузе
AB
отмечены точки
D
и
E
соответственно, причём
DE\perp AB
. Найдите отношение
AD:AC
и площадь треугольника
AED
, если известно, что
AC=\sqrt{7}
,
BC=2\sqrt{\frac{7}{3}}
, а
\angle CED=30^{\circ}
.
Ответ.
AD:AC=1:3
,
S_{\triangle ADE}=\frac{1}{3\sqrt{3}}
.
Решение. Из точек
C
и
E
отрезок
BD
виден под прямым углом, поэтому точки
B
,
C
,
D
,
E
лежат на окружности с диаметром
BD
. Вписанные в эту окружность углы
CBD
и
CED
опираются на одну и ту же дугу, а значит,
\angle CBD=\angle CED=30^{\circ}

Следовательно,
CD=\frac{BC}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{7}}{3}~\Rightarrow~AD=AC-CD=\frac{\sqrt{7}}{3}~\Rightarrow~\frac{AD}{AC}=\frac{1}{3}.

Обозначим
\angle BAC=\alpha
. Тогда
AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\frac{7}{\sqrt{3}},~\sin\alpha=\frac{BC}{AB}=\frac{2}{\sqrt{7}},~\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}},~AE=AD\cos\alpha=\frac{\sqrt{7}}{3\sqrt{3}}.

Следовательно,
S_{\triangle ADE}=\frac{1}{2}AD\cdot AE\sin\alpha=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{7}}{3}\cdot\frac{\sqrt{7}}{3\sqrt{3}}\cdot\frac{2}{\sqrt{7}}=\frac{1}{3\sqrt{3}}.

Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2022, 9 класс, заключительный этап, задача 5, вариант 13