17532. В прямоугольном треугольнике
ABC
на катете
AC
и гипотенузе
AB
отмечены точки
D
и
E
соответственно, причём
DE\perp AB
. Найдите отношение
AD:AC
и площадь треугольника
AED
, если известно, что
BC=\sqrt{29}
,
AC=\frac{5\sqrt{29}}{2}
, а
\angle CED=45^{\circ}
.
Ответ.
AD:AC=3:5
,
S_{\triangle ADE}=\frac{45}{4}
.
Решение. Из точек
C
и
E
отрезок
BD
виден под прямым углом, поэтому точки
B
,
C
,
D
,
E
лежат на окружности с диаметром
BD
. Вписанные в эту окружность углы
CBD
и
CED
опираются на одну и ту же дугу, а значит,
\angle CBD=\angle CED=45^{\circ}

Следовательно,
CD=BC=\sqrt{29}~\Rightarrow~AD=AC-CD=\frac{5\sqrt{29}}{2}-\sqrt{29}=\frac{3\sqrt{29}}{2}~\Rightarrow~\frac{AD}{AC}=\frac{3}{5}.

Обозначим
\angle BAC=\alpha
. Тогда
AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\frac{7}{\sqrt{3}},~\sin\alpha=\frac{BC}{AB}=\frac{2}{\sqrt{29}},~\cos\alpha=\frac{5}{\sqrt{29}}.

Следовательно,
S_{\triangle ADE}=\frac{1}{2}AD\cdot AE\sin\alpha=\frac{1}{2}AD\cdot AD\cos\alpha\sin\alpha=\frac{1}{2}\cdot\frac{3\sqrt{29}}{2}\cdot\frac{3\sqrt{29}}{2}\cdot\frac{5}{\sqrt{29}}\cdot\frac{2}{\sqrt{29}}=\frac{45}{4}.

Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2022, 9 класс, заключительный этап, задача 5, вариант 14