17533. Дан четырёхугольник
ABCD
, в котором
AD=BC
и
\angle A+\angle B=120^{\circ}
; пусть
P
— точка вне четырёхугольника
ABCD
, причём точки
P
и
A
лежат по разные стороны от прямой
DC
, а треугольник
DPC
равносторонний. Докажите, что треугольник
APB
тоже равносторонний.
Решение. Пусть прямые
AD
и
BC
пересекаются в точке
Q
. Обозначим
\angle DAB=\alpha
и
\angle ABC=\beta
. Заметим, что
\angle AQB=180^{\circ}-\alpha-\beta)=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}=\angle DPB.

Значит, четырёхугольник
DCPQ
вписанный. Тогда
\angle PDQ=\angle PCQ~\Rightarrow~\angle ADP=\angle BCP,

поэтому треугольники
ADP
и
BCP
равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда
AP=BP
и
\angle APD=\angle BPC
, а так как
\angle APB=\angle APC+\angle BPC=\angle APD+\angle APD=\angle CPD=60^{\circ}.

Следовательно, равнобедренный треугольник
APD
с углом
60^{\circ}
— равносторонний.
Источник: Олимпиада «Baltic Way». — 1990, задача 6