17533. Дан четырёхугольник ABCD
, в котором AD=BC
и \angle A+\angle B=120^{\circ}
; пусть P
— точка вне четырёхугольника ABCD
, причём точки P
и A
лежат по разные стороны от прямой DC
, а треугольник DPC
равносторонний. Докажите, что треугольник APB
тоже равносторонний.
Решение. Пусть прямые AD
и BC
пересекаются в точке Q
. Обозначим \angle DAB=\alpha
и \angle ABC=\beta
. Заметим, что
\angle AQB=180^{\circ}-\alpha-\beta)=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}=\angle DPB.
Значит, четырёхугольник DCPQ
вписанный. Тогда
\angle PDQ=\angle PCQ~\Rightarrow~\angle ADP=\angle BCP,
поэтому треугольники ADP
и BCP
равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда AP=BP
и \angle APD=\angle BPC
, а так как
\angle APB=\angle APC+\angle BPC=\angle APD+\angle APD=\angle CPD=60^{\circ}.
Следовательно, равнобедренный треугольник APD
с углом 60^{\circ}
— равносторонний.
Источник: Олимпиада «Baltic Way». — 1990, задача 6