17537. Пусть
NS
и
EW
— два перпендикулярных диаметра окружности
\Gamma
. Прямая
l
касается окружности
\Gamma
в точке
S
. Пусть
A
и
B
— две точки на окружности
\Gamma
, симметричные относительно диаметра
EW
. Обозначим точки пересечения прямых
NA
и
NB
через
A'
и
B'
соответственно. Докажите, что
SA'\cdot SB'=SN^2
.
Решение. Без ограничения общности рассмотрим случай, изображённый на рисунке.
Обозначим
\angle SNB'=\alpha
. Четырёхугольник
ABSN
— равнобедренная трапеция, поэтому
\angle NA'S=\angle NSA=\angle SAB=\angle SNB'=\alpha.

Из прямоугольный треугольников
A'SN
и
NSB'
получаем
\cos\alpha=\frac{NS}{A'S}~\mbox{и}~\cos\alpha=\frac{SB'}{NS}.

Следовательно,
\frac{SN}{SA'}=\frac{SB'}{SN}~\Rightarrow~SN^{2}=SA'\cdot B'S.

Что и требовалось доказать.
Источник: Олимпиада «Baltic Way». — 1994, задача 11