17537. Пусть NS
и EW
— два перпендикулярных диаметра окружности \Gamma
. Прямая l
касается окружности \Gamma
в точке S
. Пусть A
и B
— две точки на окружности \Gamma
, симметричные относительно диаметра EW
. Обозначим точки пересечения прямых NA
и NB
через A'
и B'
соответственно. Докажите, что SA'\cdot SB'=SN^2
.
Решение. Без ограничения общности рассмотрим случай, изображённый на рисунке.
Обозначим \angle SNB'=\alpha
. Четырёхугольник ABSN
— равнобедренная трапеция, поэтому
\angle NA'S=\angle NSA=\angle SAB=\angle SNB'=\alpha.
Из прямоугольный треугольников A'SN
и NSB'
получаем
\cos\alpha=\frac{NS}{A'S}~\mbox{и}~\cos\alpha=\frac{SB'}{NS}.
Следовательно,
\frac{SN}{SA'}=\frac{SB'}{SN}~\Rightarrow~SN^{2}=SA'\cdot B'S.
Что и требовалось доказать.
Источник: Олимпиада «Baltic Way». — 1994, задача 11