17538. Пусть a\leqslant b\lt c
— стороны прямоугольного треугольника, 2p
— периметр, S
— площадь. Докажите, что
p(p-c)=(p-a)(p-b)=S.
Решение. p(p-c)=\frac{(a+b+c)(a+b-c)}{4}=\frac{(a+b)^{2}-c^{2}}{4}=\frac{(a^{2}+b^{2})+2ab-c^{2}}4=
=\frac{c^{2}+2ab-c^{2}}{4}=\frac{ab}{2}=S,
(p-a)(p-b)=\frac{(c+b-a)(a+c-b)}{4}=\frac{(c-(a-b))(c+(a-b)}{4}=
=\frac{c^{2}-(a-b)^{2}}{4}=\frac{a^{2}+b^{2}-a^{2}+2ab-b^{2}}{4}=\frac{ab}{2}=S.
Что и требовалось доказать.
Источник: Олимпиада «Baltic Way». — 1992, задача 20