17539. На плоскости расположены две равные окружности радиуса r
, не имеющие общих точек. Одна прямая пересекает первую окружность в точках A
и B
, а вторую окружность — в точках C
и D
, причём AB=BC=CD=14
. Вторая прямая пересекает первую окружность в точках E
и F
, а вторую окружность — в точках G
и H
, причём EF=FG=GH=6
. Найдите r
.
Ответ. 13.
Решение. Заметим, что центры O_{1}
и O_{2}
соответственно первой и второй окружностей расположены по разные стороны от прямой EH
, иначе r\lt12
, и AB
не может быть равным 14.
Пусть P
— точка пересечения прямой EH
с линией центров O_{1}O_{2}
Точки A
и D
лежат по одну сторону от линии центров O_{1}O_{2}
, иначе прямые AD
, EH
и O_{1}O_{2}
проходили бы через точку P
, а тогда из равенств AB=BC=CD
и EF=FG=GH
следовало бы, что BC=FG
, что противоречит условию.
Заметим, что
O_{1}O_{2}=2O_{1}P=AC=28~\Rightarrow~OP=\frac{1}{2}O_{1}O_{2}=14.
Пусть h=O_{1}T
— высота треугольника O_{1}EP
. По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников O_{1}TP
и O_{1}TE
находим, что
h^{2}=O_{1}P^{2}-TP^{2}=14^{2}-6^{2}=160~\mbox{и}~r^{2}=h^{2}+TE^{2}=160+9^{2}=169.
Следовательно, r=13
.
Источник: Олимпиада «Baltic Way». — 1993, задача 16