17539. На плоскости расположены две равные окружности радиуса
r
, не имеющие общих точек. Одна прямая пересекает первую окружность в точках
A
и
B
, а вторую окружность — в точках
C
и
D
, причём
AB=BC=CD=14
. Вторая прямая пересекает первую окружность в точках
E
и
F
, а вторую окружность — в точках
G
и
H
, причём
EF=FG=GH=6
. Найдите
r
.
Ответ. 13.
Решение. Заметим, что центры
O_{1}
и
O_{2}
соответственно первой и второй окружностей расположены по разные стороны от прямой
EH
, иначе
r\lt12
, и
AB
не может быть равным 14.
Пусть
P
— точка пересечения прямой
EH
с линией центров
O_{1}O_{2}
Точки
A
и
D
лежат по одну сторону от линии центров
O_{1}O_{2}
, иначе прямые
AD
,
EH
и
O_{1}O_{2}
проходили бы через точку
P
, а тогда из равенств
AB=BC=CD
и
EF=FG=GH
следовало бы, что
BC=FG
, что противоречит условию.
Заметим, что
O_{1}O_{2}=2O_{1}P=AC=28~\Rightarrow~OP=\frac{1}{2}O_{1}O_{2}=14.

Пусть
h=O_{1}T
— высота треугольника
O_{1}EP
. По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников
O_{1}TP
и
O_{1}TE
находим, что
h^{2}=O_{1}P^{2}-TP^{2}=14^{2}-6^{2}=160~\mbox{и}~r^{2}=h^{2}+TE^{2}=160+9^{2}=169.

Следовательно,
r=13
.
Источник: Олимпиада «Baltic Way». — 1993, задача 16