17541. Докажите, что существует число \alpha
, что для любого треугольника ABC
выполняется неравенство
\max(h_{A},h_{B},h_{C})\leqslant\alpha\min(m_{A},m_{B},m_{C}),
где h_{A}
, h_{B}
, h_{C}
— высоты, а m_{A}
, m_{B}
, m_{C}
— медианы. Найдите наименьшее возможное \alpha
.
Ответ. 2.
Решение. Пусть h=\max(h_{A},h_{B},h_{C})
и m=\min(m_{A},m_{B},m_{C})
.
Если наибольшая высота и наименьшая медиана проведены из одной вершины, очевидно, что h\leqslant m
.
Пусть теперь наибольшая высота и наименьшая медиана — это AD
и BE
соответственно, AD=h
и BE=m
, а F
— точка на прямой BC
, для которой EF\parallel AD
. Тогда EF
— средняя линия прямоугольного треугольника ADC
, поэтому
m=BE\geqslant FE=\frac{h}{2}.
Значит, h\leqslant2m
, причём равенство достигается, например, для треугольника, у которого основание D
высоты AD
лежит на луче CB
и BD=CB
. Следовательно, наименьшее искомое \alpha
равно 2.
Источник: Олимпиада «Baltic Way». — 1995, задача 17