17541. Докажите, что существует число
\alpha
, что для любого треугольника
ABC
выполняется неравенство
\max(h_{A},h_{B},h_{C})\leqslant\alpha\min(m_{A},m_{B},m_{C}),

где
h_{A}
,
h_{B}
,
h_{C}
— высоты, а
m_{A}
,
m_{B}
,
m_{C}
— медианы. Найдите наименьшее возможное
\alpha
.
Ответ. 2.
Решение. Пусть
h=\max(h_{A},h_{B},h_{C})
и
m=\min(m_{A},m_{B},m_{C})
.
Если наибольшая высота и наименьшая медиана проведены из одной вершины, очевидно, что
h\leqslant m
.
Пусть теперь наибольшая высота и наименьшая медиана — это
AD
и
BE
соответственно,
AD=h
и
BE=m
, а
F
— точка на прямой
BC
, для которой
EF\parallel AD
. Тогда
EF
— средняя линия прямоугольного треугольника
ADC
, поэтому
m=BE\geqslant FE=\frac{h}{2}.

Значит,
h\leqslant2m
, причём равенство достигается, например, для треугольника, у которого основание
D
высоты
AD
лежит на луче
CB
и
BD=CB
. Следовательно, наименьшее искомое
\alpha
равно 2.
Источник: Олимпиада «Baltic Way». — 1995, задача 17