17542. На рисунке изображены три полуокружности. Окружность \Gamma
касается двух из них и прямой PQ
, перпендикулярной диаметру AB
третьей. Площадь закрашенной области равна 39\pi
, а площадь круга \Gamma
равна 9\pi
. Найдите диаметр AB
.
Ответ. 32.
Решение. Пусть AP=2a
, PB=2b
; M
— середина AB
, N
— середина PB
; D
и E
— ортогональные проекции центра C
окружности \Gamma
радиуса c=3
на прямые PQ
и AD
соответственно.
Тогда данная площадь равна
S=\frac{\pi(a+b)^{2}}{2}-\frac{\pi a^{2}}{2}-\frac{\pi b^{2}}{2}-\pi c^{2}=(ab-c^{2})\pi=(ab-9)\pi.
В то же время S=39\pi
. Значит,
(ab-9)\pi=39\pi~\Rightarrow~ab=48.
Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому радиус полуокружности с диаметром AB
равен a+b
, а также
MN=(a+b)-b=a,~NC=b+c,~MC=(a+b)-c=a+b-c,
EN=PN-PE=PN-CD=b-c,~ME=MN-EN=a-b+c.
По теореме Пифагора
MC^{2}-ME^{2}=NC^{2}-EN^{2},~\mbox{или}~(a+b-c)^{2}-(a-b+c)^{2}=(b+c)^{2}-(b-c)^{2}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~2a(2b-2c)=2b\cdot2c~\Leftrightarrow~ab-ac=bc,
а так как b=3
и ab=48
, то
ab-3a=3b~\Rightarrow~a+b=\frac{ab}{3}=\frac{48}{3}=16.
Следовательно,
AB=2a+2b=2(a+b)=32.
ab-ac=bc\iff a+b={ab\over c}={48\over3}=16
Примечание. Из равенств ab=48
и a+b=16
можно получить диаметры меньших полуокружностей 2a=24
и 2b=8
.
Источник: Олимпиада «Baltic Way». — 1996, задача 2