17544. Биссектриса AD
треугольника ABC
равна биссектрисе AE
внешнего угла треугольника (точка E
лежит на прямой BC
). Найдите разность двух других углов треугольника ABC
.
Ответ. 90^{\circ}
.
Решение. Обозначим через \alpha
, \beta
и \gamma
углы треугольника ABC
при вершинах A
, B
и C
соответственно. Тогда \angle DAE=90^{\circ}
как угол между биссектрисами смежных углов и \angle BEA=45^{\circ}
как угол при основании DE
равнобедренного прямоугольного треугольника.
По теореме о внешнем угле треугольника
\gamma=\angle ACB=\angle CAE+\angle BEA=\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)+45^{\circ}=\frac{\beta+\gamma}{2}+45^{\circ},
откуда находим, что
\gamma-\beta=90^{\circ}.
Источник: Новосибирская устная олимпиада по геометрии. — 2026, задача 2, 8-9 классы