17544. Биссектриса
AD
треугольника
ABC
равна биссектрисе
AE
внешнего угла треугольника (точка
E
лежит на прямой
BC
). Найдите разность двух других углов треугольника
ABC
.
Ответ.
90^{\circ}
.
Решение. Обозначим через
\alpha
,
\beta
и
\gamma
углы треугольника
ABC
при вершинах
A
,
B
и
C
соответственно. Тогда
\angle DAE=90^{\circ}
как угол между биссектрисами смежных углов и
\angle BEA=45^{\circ}
как угол при основании
DE
равнобедренного прямоугольного треугольника.
По теореме о внешнем угле треугольника
\gamma=\angle ACB=\angle CAE+\angle BEA=\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)+45^{\circ}=\frac{\beta+\gamma}{2}+45^{\circ},

откуда находим, что
\gamma-\beta=90^{\circ}.

Источник: Новосибирская устная олимпиада по геометрии. — 2026, задача 2, 8-9 классы