17545. Два квадрата расположены так, что их углы при одной из общих вершин — смежные. Продолжение диагонали одного квадрата пересекает диагональ второго в точке O
(см. рис.). Докажите, что O
— середина отрезка AB
.
Решение. Пусть D
— общая вершина квадратов, вершина C
меньшего квадрата лежит на стороне DF
большего, а K
— точка пересечения продолжения диагонали CE
меньшего квадрата со стороной AF
большего.
Треугольник CFK
прямоугольный и равнобедренный, поэтому FK=FC
. Тогда AK=CD=BC
, а так как при этом AK\parallel BC
, то треугольники AOK
и BOC
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, OA=OB
, т. е. O
— середина отрезка AB
.
Источник: Новосибирская устная олимпиада по геометрии. — 2016, задача 4, 8-9 классы