17545. Два квадрата расположены так, что их углы при одной из общих вершин — смежные. Продолжение диагонали одного квадрата пересекает диагональ второго в точке
O
(см. рис.). Докажите, что
O
— середина отрезка
AB
.
Решение. Пусть
D
— общая вершина квадратов, вершина
C
меньшего квадрата лежит на стороне
DF
большего, а
K
— точка пересечения продолжения диагонали
CE
меньшего квадрата со стороной
AF
большего.
Треугольник
CFK
прямоугольный и равнобедренный, поэтому
FK=FC
. Тогда
AK=CD=BC
, а так как при этом
AK\parallel BC
, то треугольники
AOK
и
BOC
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно,
OA=OB
, т. е.
O
— середина отрезка
AB
.
Источник: Новосибирская устная олимпиада по геометрии. — 2016, задача 4, 8-9 классы