17546. В параллелограмме
CMNP
биссектрисы углов
MCN
и
PCN
пересекают продолжения сторон
PN
и
MN
в точках
A
и
B
соответственно. Докажите, что биссектриса угла
C
параллелограмма перпендикулярна прямой
AB
.
Решение. Из параллельности прямых
AP
и
CM
следует, что
\angle CMN=\angle MCN=\angle ACN,

поэтому треугольник
ANC
равнобедренный,
NC=NA
. Аналогично,
NC=NB
.
Точка
N
равноудалена от всех вершин треугольника
ABC
, значит,
N
— центр описанной окружности этого треугольника.
Пусть биссектриса угла
NE
угла
MCP
пересекает прямую
PN
в точке
Q
, а
\angle MCP=\alpha
. Тогда
\angle CQN=\angle NCP=\frac{\alpha}{2}=\angle ANE~\Rightarrow~CQ\parallel NE,

а так как биссектриса равнобедренного треугольника
ANB
перпендикулярна его основанию
AB
, то что
CQ\perp AB
. Что и требовалось доказать.
Источник: Новосибирская устная олимпиада по геометрии. — 2016, задача 5, 8-9 классы