17546. В параллелограмме CMNP
биссектрисы углов MCN
и PCN
пересекают продолжения сторон PN
и MN
в точках A
и B
соответственно. Докажите, что биссектриса угла C
параллелограмма перпендикулярна прямой AB
.
Решение. Из параллельности прямых AP
и CM
следует, что
\angle CMN=\angle MCN=\angle ACN,
поэтому треугольник ANC
равнобедренный, NC=NA
. Аналогично, NC=NB
.
Точка N
равноудалена от всех вершин треугольника ABC
, значит, N
— центр описанной окружности этого треугольника.
Пусть биссектриса угла NE
угла MCP
пересекает прямую PN
в точке Q
, а \angle MCP=\alpha
. Тогда
\angle CQN=\angle NCP=\frac{\alpha}{2}=\angle ANE~\Rightarrow~CQ\parallel NE,
а так как биссектриса равнобедренного треугольника ANB
перпендикулярна его основанию AB
, то что CQ\perp AB
. Что и требовалось доказать.
Источник: Новосибирская устная олимпиада по геометрии. — 2016, задача 5, 8-9 классы