17548. Точки
K
и
L
лежат на стороне
BC
треугольника
ABC
, причём точка
K
лежит между
B
и
L
; точки
M
и
N
лежат на сторонах
AC
и
AB
соответственно. Известно, что
BN=KN=KL=LM=LC=MN=MA
. Найдите углы треугольника
ABC
.
Ответ.
72^{\circ}
,
72^{\circ}
,
36^{\circ}
.
Решение. Заметим, что
KLMN
— ромб. Значит,
MN\parallel BC
и
ML\parallel NK
.
Пусть
\angle ANM=\angle ABC=2\alpha
. Треугольник
BNK
равнобедренный, поэтому
\angle MLB=\angle NKB=\angle NBK=2\alpha.

Треугольники
AMN
и
CLM
тоже равнобедренные, поэтому
\angle MAN=\angle ANM=2\alpha,

а так как
MLB
— внешний угол равнобедренного треугольника
MLC
, то
\angle BCA=\angle LCM=\angle CML=\frac{1}{2}\angle MLB=\alpha.

Сумма углов треугольника
ABC
равна
180^{\circ}
, т. е.
2\alpha+2\alpha+\alpha=5\alpha=180^{\circ},

откуда
\alpha=36^{\circ}
. Следовательно,
\angle ABC=\angle BAC=2\alpha=72^{\circ},~ACB=\alpha=36^{\circ}.

Источник: Новосибирская устная олимпиада по геометрии. — 2019, 8-9 классы