17548. Точки K
и L
лежат на стороне BC
треугольника ABC
, причём точка K
лежит между B
и L
; точки M
и N
лежат на сторонах AC
и AB
соответственно. Известно, что BN=KN=KL=LM=LC=MN=MA
. Найдите углы треугольника ABC
.
Ответ. 72^{\circ}
, 72^{\circ}
, 36^{\circ}
.
Решение. Заметим, что KLMN
— ромб. Значит, MN\parallel BC
и ML\parallel NK
.
Пусть \angle ANM=\angle ABC=2\alpha
. Треугольник BNK
равнобедренный, поэтому
\angle MLB=\angle NKB=\angle NBK=2\alpha.
Треугольники AMN
и CLM
тоже равнобедренные, поэтому
\angle MAN=\angle ANM=2\alpha,
а так как MLB
— внешний угол равнобедренного треугольника MLC
, то
\angle BCA=\angle LCM=\angle CML=\frac{1}{2}\angle MLB=\alpha.
Сумма углов треугольника ABC
равна 180^{\circ}
, т. е.
2\alpha+2\alpha+\alpha=5\alpha=180^{\circ},
откуда \alpha=36^{\circ}
. Следовательно,
\angle ABC=\angle BAC=2\alpha=72^{\circ},~ACB=\alpha=36^{\circ}.
Источник: Новосибирская устная олимпиада по геометрии. — 2019, 8-9 классы