17550. Дан треугольник
ABC
, в котором угол
B
в три раза больше угла
C
. На стороне
AC
отмечена точка
D
, для которой угол
BDC
в два раза больше угла
C
. Докажите, что
BD+BA=AC
.
Указание. Примените теорему синусов.
Решение. Обозначим
\angle ACB=\alpha
. Тогда
\angle BDC=2\alpha,~\angle ABC=3\alpha,~\angle BAC=180^{\circ}-4\alpha,

\angle DBC=180-3\alpha.

По теореме синусов из треугольников
BDC
и
ABC
получаем
\frac{BD}{\sin\alpha}=\frac{BC}{\sin2\alpha}~\Rightarrow~BD=\frac{BC\sin\alpha}{\sin2\alpha},

\frac{AB}{\sin\alpha}{\sin(4\alpha)}~\Rightarrow~AB=\frac{BC\sin\alpha}{\sin4\alpha}.

Значит,
BD+AB=\frac{BC\sin\alpha}{\sin2\alpha}+\frac{BC\sin\alpha}{\sin4\alpha}=BC\sin\alpha\cdot\left(\frac{\sin2\alpha+\sin4\alpha}{\sin2\alpha+\sin4\alpha}\right)=

=\frac{BC\sin3\alpha}{\sin4\alpha}=AC,

так как по теореме синусов
\frac{BC}{\sin4\alpha}=\frac{AC}{\sin4\alpha}~\Rightarrow~AC=\frac{BC\sin(3\alpha)}{\sin(4\alpha)}.

Следовательно,
BD+AB=AC.

Что и требовалось доказать.
Источник: Новосибирская устная олимпиада по геометрии. — 2019, 8-9 классы