17553. Точка
M
— середина основания
BC
трапеции
ABCD
,
P
— произвольная точка основания
AD
. Прямые
PM
и
DC
пересекаются в точке
Q
, а прямая, проведённая через точку
P
перпендикулярно основаниям трапеции, и прямая
BQ
пересекаются в точке
K
. Докажите, что
\angle QBC=\angle KDA
.
Решение. Пусть прямые
BQ
и
AD
пересекаются в точке
H
. Из подобия треугольников
DPQ
и
CMQ
и теоремы о пропорциональных отрезках получаем
\frac{PD}{MC}=\frac{QP}{QM}=\frac{HP}{BM},

а так как
BM=MC
, то
HP=PD
. Значит,
KP
медиана и высота треугольника
DKH
, поэтому треугольник
DKH
равнобедренный с основанием
DH
.
Следовательно,
\angle KDA=\angle KHD=\angle QBC.

Что и требовалось доказать.
Источник: Украинская устная олимпиада по геометрии. — 2017, задача 2, 9 класс