17553. Точка M
— середина основания BC
трапеции ABCD
, P
— произвольная точка основания AD
. Прямые PM
и DC
пересекаются в точке Q
, а прямая, проведённая через точку P
перпендикулярно основаниям трапеции, и прямая BQ
пересекаются в точке K
. Докажите, что \angle QBC=\angle KDA
.
Решение. Пусть прямые BQ
и AD
пересекаются в точке H
. Из подобия треугольников DPQ
и CMQ
и теоремы о пропорциональных отрезках получаем
\frac{PD}{MC}=\frac{QP}{QM}=\frac{HP}{BM},
а так как BM=MC
, то HP=PD
. Значит, KP
медиана и высота треугольника DKH
, поэтому треугольник DKH
равнобедренный с основанием DH
.
Следовательно,
\angle KDA=\angle KHD=\angle QBC.
Что и требовалось доказать.
Источник: Украинская устная олимпиада по геометрии. — 2017, задача 2, 9 класс