17555. Точка P
лежит внутри треугольника ABC
, причём BP\gt AP
и BP\gt CP
. Докажите, что угол ABC
острый.
Решение. Обозначим \angle BCP=x
, \angle BAP=y
, \angle ABP=z
, \angle CBP=t
. Против большей стороны в треугольнике лежит больший угол, поэтому
z\lt y,~\mbox{и}~t\lt x~\Rightarrow~\angle ABC=x+t\lt y+x\lt\angle BAC+\angle ACB=180^{\circ}-\angle ABC.
Следовательно,
\angle2ABC\lt180^{\circ}~\Rightarrow~\angle ABC\lt90^{\circ}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Украинская устная олимпиада по геометрии. — 2020, задача 2, 8 класс