17557. Три стороны выпуклого четырёхугольника равны, а углы между ними равны соответственно 90^{\circ}
и 150^{\circ}
. Найдите наименьший угол этого четырёхугольника.
Решение. Пусть ABCD
— выпуклый четырёхугольник со сторонами AB=BC=CD=a
и углами \angle ABC=90^{\circ}
и 150^{\circ}
.
Первый способ. Пусть O
— вершина квадрата ABCO
. Поскольку OC=BC
, треугольник OCD
равнобедренный с углом \angle OCD=120^{\circ}-90^{\circ}=60^{\circ}
. Значит, этот треугольник равносторонний. Тогда OD=OC=OA=a
.
Точки A
, C
и D
равноудалены от точки O
, поэтому они лежат на окружности с центром O
. Вписанный в эту окружность угол ADC
равен половине соответствующего центрального угла, т. е.
\angle ADC=\frac{1}{2}\cdot90^{\circ}=45^{\circ}.
Тогда
\angle BAD=360^{\circ}-90^{\circ}-150^{\circ}-45^{\circ}=75^{\circ}.
Следовательно, наименьший угол данного четырёхугольника равен \angle ADC=45^{\circ}
.
Второй способ. Из равнобедренного прямоугольного треугольника ABC
получаем, что AC=a\sqrt{2}
, а
\angle ACD=150^{\circ}-45^{\circ}=105^{\circ}.
Обозначим \angle CAD=\alpha
. Тогда \angle CDA=75^{\circ}-\alpha
. По теореме синусов из треугольника ACD
получаем
\frac{\sin\alpha}{\sin(75^{\circ}-\alpha)}=\frac{CD}{AC}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Значит (см. задачу 1419),
\sqrt{2}\sin\alpha=\sin(75^{\circ}-\alpha)=\sin75^{\circ}\cos\alpha-\cos75^{\circ}\sin\alpha=
=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}\cos\alpha-\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}\sin\alpha,
откуда
\left(2+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}+1}{2}\cos\alpha~\Rightarrow~(3+\sqrt{3})\sin\alpha=(\sqrt{3}+1)\cos\alpha~\Rightarrow
\Rightarrow~\ctg\alpha=\sqrt{3}~\Rightarrow~\alpha=30^{\circ}~\Rightarrow~\angle BAD=45^{\circ}+30^{\circ}=75^{\circ}~\mbox{и}~\angle ADC=75^{\circ}-30^{\circ}=45^{\circ}.
Следовательно, наименьший угол данного четырёхугольника равен \angle ADC=45^{\circ}
.
Источник: Украинская устная олимпиада по геометрии. — 2020, задача 2, 8 класс