17563. Точка D
— основание высоты треугольника ABC
, проведённой из вершины A
; точки E
и F
лежат на прямой, проходящей через точку D
, причём AE\perp BE
и AF\perp CF
(E
и F
отличны от D
); точки M
и N
— середины отрезков BC
и EF
соответственно. Докажите, что AN\perp NM
.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке.
Из точек D
и E
отрезок AB
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AB
, т. е. четырёхугольник ABDE
вписанный. Тогда
\angle ABD=180^{\circ}-\angle AED=\angle AEF.
Из точек D
и F
отрезок AC
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AC
. Вписанные в эту окружность углы AFD
и ACD
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle AFE=\angle AFD=\angle ACD=\angle ACB.
Следовательно, треугольники AEF
и ABC
подобны по двум углам.
При этом подобии медиана AN
треугольника AEF
соответствует медиане AM
треугольника ABC
а угол EAN
— углу BAC
, поэтому \angle EAN=\angle BAM
. Кроме того из подобия треугольников AEN
и ABM
получаем \frac{AE}{AN}=\frac{AB}{AM}
. Значит, треугольники AEB
и ANM
подобны. Следовательно,
\angle ANM=\angle AEB=90^{\circ}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Азиатско-тихоокеанская математическая олимпиада. — 1998, задача 4