17566. Угол при вершине A
треугольника ABC
не равен 90^{\circ}
, O
— центр описанной окружности треугольника ABC
, а \Gamma
— описанная окружность треугольника BOC
. Окружность \Gamma
пересекает отрезок AB
в точке P
, отличной от B
, и отрезок в точке Q
, отличной от C
. Известно также, что ON
— диаметр окружности \Gamma
. Докажите, что APNQ
— параллелограмм.
Решение. Первый способ. Поскольку O
— центр описанной окружности треугольника ABC
, треугольники AOP
и AOC
равнобедренные, поэтому
\angle OAB=\angle OBA=\angle OBP=\angle ONP.
Аналогично, \angle OAC=\angle ONQ
. Значит,
\angle PNQ=\angle ONP+\angle ONQ=\angle OAP+\angle OAQ=\angle PAQ.
В то же время, поскольку точка O
равноудалена от концов отрезка BC
, она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку, а так как серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности, то прямая ON
и есть серединный перпендикуляр к отрезку BC
. Тогда
\angle BPN=\angle CQN~\Rightarrow~\angle APN=\angle AQN.
Противоположные углы четырёхугольника APNQ
попарно равны. Следовательно, это параллелограмм. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке.
Вписанные в окружность \Gamma
углы CQN
и CON
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle CQN=\angle CON
. Центральный угол BAC
описанной окружности треугольника ABC
вдвое больше соответствующего вписанного угла BAC
, т. е. \angle BOC=2\angle BAC
. Тогда
\angle CQN=\angle CON=\frac{1}{2}\angle BOC=\angle BAC=\angle PAQ.
Значит, AP\parallel QN
. Аналогично, AQ\parallel PN
. Следовательно, APNQ
— параллелограмм.
Аналогично для любого другого случая.
Источник: Азиатско-тихоокеанская математическая олимпиада. — 2010, задача 1