17567. В остроугольном треугольнике ABC
проведены высоты AD
, BE
и CF
, точка O
— центр описанной окружности. Докажите, что отрезки OA
, OF
, OB
, OD
, OC
, OE
разбивают треугольник ABC
на три пары равновеликих треугольников.
Решение. Обозначим через \alpha
, \beta
и \gamma
углы треугольника ABC
при вершинах A
, B
и C
соответственно, через a
, b
и c
— противолежащие им стороны, R
— радиус описанной окружности.
Тогда
\angle AOB=2\gamma,~\angle OAF=90^{\circ}-\gamma,~AF=AC\cos\alpha,
S_{\triangle OAF}=\frac{1}{2}AF\cdot AO\sin\angle OAF=\frac{1}{2}AC\cos\alpha\cdot R\sin(90^{\circ}-\gamma)=\frac{1}{2}bR\cos\alpha\cos\gamma.
Аналогично,
S_{\triangle OBF}=\frac{1}{2}aR\cos\beta\cos\gamma,~S_{\triangle OBD}=\frac{1}{2}cR\cos\beta\cos\alpha,~S_{\triangle OCD}=\frac{1}{2}bR\cos\alpha\cos\gamma,
S_{\triangle OCE}=\frac{1}{2}aR\cos\beta\cos\gamma,~S_{\triangle OEA}=\frac{1}{2}cR\cos\beta\cos\alpha,
Следовательно,
S_{\triangle OAF}=S_{\triangle OCD},~S_{\triangle OBF}=S_{\triangle OCE},~S_{\triangle OBD}=S_{\triangle OEA}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Азиатско-тихоокеанская математическая олимпиада. — 2013, задача 1