17569. Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке K
. Через точку K
проведена прямая, вторично пересекающая первую окружность в точке A
, а вторую в точке B
. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC
, если AB=15
, диаметр первой окружности равен 20, диаметр второй окружности равен 5, и отрезок AC
— диаметр первой окружности (точки K
и C
различны).
Ответ. \frac{\sqrt{265}}{8}
.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры данных окружностей с диаметрами AC
и BD
соответственно, D
— точка пересечения прямой CK
со второй окружностью. Поскольку точка K
лежит на отрезке O_{1}O_{2}
, а треугольники AO_{1}K
и BKO_{2}
равнобедренные, то
\angle CAB=\angle CAK=\angle O_{1}KA=\angle O_{2}KB=\angle O_{2}BK=\angle DBA.
Значит, прямоугольные треугольники AKC
и BKD
подобны. Обозначим AK=x
, \angle ABC=\alpha
, R
— искомый радиус описанной окружности треугольника ABC
. Тогда
4=\frac{20}{5}=\frac{AC}{BD}=\frac{AK}{KB}~\mbox{или}~4=\frac{x}{15-x},
откуда
x=12,~AK=4,~CK=\sqrt{20^{2}-12^{2}}=16,~BC=\sqrt{16^{2}+3^{2}}=\sqrt{265},
\sin\alpha=\frac{CK}{BC}=\frac{16}{\sqrt{265}}.
Следовательно, по теореме синусов
R=\frac{AC}{2\sin\alpha}=\frac{20}{2\cdot\frac{16}{\sqrt{265}}}=\frac{5\sqrt{265}}{8}.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2024-2025, заключительный этап, задача 3, 10-11 классы