1757. Прямая, проходящая через центры двух окружностей называется их линией центров. Докажите, что общие внешние (внутренние) касательные к двум окружностям пересекаются на линии центров этих окружностей.
Указание. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.
Решение. Пусть общие внешние касательные к двум окружностям разного радиуса пересекаются в точке M
. Поскольку эти окружности вписаны в угол с вершиной M
, то их центры лежат на биссектрисе этого угла, а так как через две различные точки (в данном случае — центры окружностей) проходит только одна прямая, то линия центров лежит на указанной биссектрисе.
Аналогично для общих внутренних касательный (в этом случае радиусы окружностей могут быть равными).