17574. Дана трапеция MKPE
с основаниями ME
и KP
; EA
— расстояние от точки E
до прямой MK
. Найдите тангенс угла AEM
, если MK=15
, KP=11
, PE=13
, ME=25
. Ответ запишите в виде десятичной дроби.
Ответ. 0,75.
Решение. Пусть KC
— высота данной трапеции, а прямая, проведённая через вершину K
параллельно PE
, пересекает основание ME
в точке B
. Тогда BKPE
параллелограмм, поэтому
KB=PE=13,~MB=ME-BE=ME-KP=25-11=14.
По формуле Герона
S_{\triangle BMK}=\sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}=84.
Тогда
KC=\frac{2S_{\triangle BMK}}{MB}=\frac{2\cdot84}{14}=12,
Заметим, что \angle AEM=\angle CKM
как острые углы с соответственно перпендикулярными сторонами. По теореме Пифагора
BC=\sqrt{KB^{2}-KC^{2}}=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=5~\Rightarrow~MC=BM-BC=14-5=9.
Следовательно,
\tg\angle AEM=\tg\angle CKM=\frac{MC}{KC}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}=0{,}75.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2024-2025, отборочный этап, задача 6, 9 класс