17578. В прямоугольном треугольнике ABC
с гипотенузой AC
угол A
равен 30^{\circ}
и катет AB
равен 15. Точка D
— середина AC
. Через точку D
проведена прямая, перпендикулярная гипотенузе и пересекающая катет AB
в точке E
. Найдите DE
.
Ответ. 5.
Решение. На продолжении катета BC
за точку B
отложим отрезок BF=BC
. Прямоугольные треугольники ABF
и ABC
равны по двум катетам, поэтому AF=AC
и \angle BAF=\angle BAC=30^{\circ}
. Равнобедренный треугольник ACF
с углом 60^{\circ}
— равносторонний. Его медианы AB
и FD
равны и пересекаются в точке E
. Следовательно,
DE=\frac{1}{3}FD=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}\cdot15=5.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2023-2024, отборочный этап, задача 3, 8 класс